设A是3阶实对称矩阵，满足A2＝2A2＋5A－6E，且kE＋A是正定阵，则k的取值范围是_______．

admin2017-12-11 67

问题设A是3阶实对称矩阵，满足A²＝2A²＋5A－6E，且kE＋A是正定阵，则k的取值范围是_______．

选项

答案k＞2

解析根据题设条件，则有A³－2A²－5A＋6E＝O，
设A有特征值λ，则人满足条件λ³－2λ²－5λ＋6＝0，将其因式分解可得
λ³－2λ²－5λ＋6＝(λ－1)(λ＋2)(λ－3)＝0，
因此可知矩阵A的特征值分别为1，－2，3，故kE＋A的特征值分别为k＋，k－2，k＋3，且当k＞2时，kE＋A的特征值均为正数．故k＞2．

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