设A是m×n矩阵．证明： r(A)=1存在m维和n维非零列向量α和β，使得A=αβT．

admin2020-03-10 60

问题设A是m×n矩阵．证明： r(A)=1

存在m维和n维非零列向量α和β，使得A=αβ^T．

选项

答案“[*]”记A的列向量组为α₁，α₂，…，α_n，则因为r(A)=1，所以r(α₁，α₂，…，α_n)=1．于是A一定有非零列向量，记α为一个非零列向量，则每个α_i都是α的倍数．设α_i=b_iα，i=1，2，…，n．记β=(b₁，b₂，…，b_n)^T，则β≠0，并且A=(α₁，α₂，…，α_n)=(b₁α，b₂α，…，b_nα)=αβ^T． “[*]”设A=αβ^T，则r(A)≤r(α)=1．由于α，β都不是零向量，可设α的第i个分量a_i≠0，β的第j个分量b_j≠0．则A的(i，j)位元素为a_ib_j≠0，因此A≠0，从而r(A)＞0．得r(A)=1．

解析

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