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考研
[2016年] 已知矩阵 求A99;
[2016年] 已知矩阵 求A99;
admin
2021-01-25
40
问题
[2016年] 已知矩阵
求A
99
;
选项
答案
由[*]知A有3个不相等的特征值,由命题2.5.3.2(1)知A可相似对角化.下面求可逆矩阵P,使P
-1
AP=A=diag(0,-1,-2).为此求出A的3个线性无关的特征向量. 当λ
1
=0时,则(0E-A)X=0,即AX=0. 由[*]及基础解系的简便求法得特征向量[*] 取特征向量a
1
=[3,2,2]
T
. 当λ
2
=-1时,解(-E-A)X=0.由[*]及基础解系的简便求法即得特征向量b
2
=[1,1,0]
T
当λ
3
=-2时 解(-2E-A)X=0.由[*]及基础解系的简便求法得对应于λ
3
=-2的特征向量c=[1/2,1,0]
T
取c
3
=(1,2,0)
T
.令P=(a
1
,b
2
,c
3
).因它们属于不同特征值的特征向量,故a
1
,b
2
,c
3
线性无关,P为可逆矩阵,且P
-1
AP=Λ=diag(0,-1,-2),即A=PΛP
-1
,则 [*] 注:命题2.5.3.2 (1)n阶矩阵A可相似对角化的充分条件是A有n个不同的特征值或A为实对称矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/hyx4777K
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考研数学三
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