[2016年] 已知矩阵 求A99;

admin2021-01-25  24

问题 [2016年]  已知矩阵
求A99

选项

答案由[*]知A有3个不相等的特征值,由命题2.5.3.2(1)知A可相似对角化.下面求可逆矩阵P,使P-1AP=A=diag(0,-1,-2).为此求出A的3个线性无关的特征向量. 当λ1=0时,则(0E-A)X=0,即AX=0. 由[*]及基础解系的简便求法得特征向量[*] 取特征向量a1=[3,2,2]T. 当λ2=-1时,解(-E-A)X=0.由[*]及基础解系的简便求法即得特征向量b2=[1,1,0]T 当λ3=-2时 解(-2E-A)X=0.由[*]及基础解系的简便求法得对应于λ3=-2的特征向量c=[1/2,1,0]T取c3=(1,2,0)T.令P=(a1,b2,c3).因它们属于不同特征值的特征向量,故a1,b2,c3线性无关,P为可逆矩阵,且P-1AP=Λ=diag(0,-1,-2),即A=PΛP-1,则 [*] 注:命题2.5.3.2 (1)n阶矩阵A可相似对角化的充分条件是A有n个不同的特征值或A为实对称矩阵.

解析
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