[2005年] 设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B－C为( )．

admin2019-04-28 39

问题 [2005年] 设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B－C为( )．

选项 A、E
B、－E
C、A
D、－A

答案A

解析解一仅(A)入选．由B=E+AB得到(E－A)B=E，两边左乘(E－A)^－1得到B=(E－A)^－1．
由C=A+CA得到C(E－A)=A，两边右乘(E－A)^－1，得到C=A(E—A)^－1，则
         B－C=(E－A)^－1－A(E－A)^－1=(E－A)(E－A)^－1=E．
解二  由B=E+AB，C=A+CA，有B－AB=E，C－CA=A．于是
      (E－A)B=E，  C(E－A)=A， ①
则E—A与B可逆，且互为逆矩阵．于是有
         B(E－A)=E，             ②
则由式②一式①，得到
         B(E－A)－C(E－A)=(B－C)(E－A)=E—A，  即  B－C=E．  仅(A)入选．

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