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  3. [2005年] 设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B－C为( )．

[2005年] 设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B－C为( )．

admin2019-04-28  51
问题 [2005年]  设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B－C为(    )．
选项 A、E
B、－E
C、A
D、－A
答案A
解析 解一    仅(A)入选．由B=E+AB得到(E－A)B=E，两边左乘(E－A)－1得到B=(E－A)－1．
    由C=A+CA得到C(E－A)=A，两边右乘(E－A)－1，得到C=A(E—A)－1，则
           B－C=(E－A)－1－A(E－A)－1=(E－A)(E－A)－1=E．
    解二  由B=E+AB，C=A+CA，有B－AB=E，C－CA=A．于是
          (E－A)B=E，  C(E－A)=A，    ①
则E—A与B可逆，且互为逆矩阵．于是有
           B(E－A)=E，                ②
则由式②一式①，得到
            B(E－A)－C(E－A)=(B－C)(E－A)=E—A，  即  B－C=E．  仅(A)入选．
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考研数学三

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