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[2005年] 设A,B,C均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,若B=E+AB,C=A+CA,则B-C为( ).
[2005年] 设A,B,C均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,若B=E+AB,C=A+CA,则B-C为( ).
admin
2019-04-28
44
问题
[2005年] 设A,B,C均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,若B=E+AB,C=A+CA,则B-C为( ).
选项
A、E
B、-E
C、A
D、-A
答案
A
解析
解一 仅(A)入选.由B=E+AB得到(E-A)B=E,两边左乘(E-A)
-1
得到B=(E-A)
-1
.
由C=A+CA得到C(E-A)=A,两边右乘(E-A)
-1
,得到C=A(E—A)
-1
,则
B-C=(E-A)
-1
-A(E-A)
-1
=(E-A)(E-A)
-1
=E.
解二 由B=E+AB,C=A+CA,有B-AB=E,C-CA=A.于是
(E-A)B=E, C(E-A)=A, ①
则E—A与B可逆,且互为逆矩阵.于是有
B(E-A)=E, ②
则由式②一式①,得到
B(E-A)-C(E-A)=(B-C)(E-A)=E—A, 即 B-C=E. 仅(A)入选.
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考研数学三
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