2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上可导，且f′+(a)＞0，f′－(b)＞0，f(a)≥f(b)，求证：f′(x)在 (a，b)至少有两个零点．

设f(x)在[a，b]上可导，且f′+(a)＞0，f′－(b)＞0，f(a)≥f(b)，求证：f′(x)在 (a，b)至少有两个零点．

admin2016-10-26  27
问题 设f(x)在[a，b]上可导，且f′+(a)＞0，f′－(b)＞0，f(a)≥f(b)，求证：f′(x)在 (a，b)至少有两个零点．
选项
答案f(x)在[a，b]的连续性保证，在[a，b]上f(x)至少达到最大值和最小值各一次．由f(a)≥f(b)得，若f(x)的最大值在区间端点达到，则必在x=a达到．由f(x)的可导性，必有f′+(a)≤0，条件f′+(a)＞0表明f(x)的最大值不能在端点达到．同理可证f(x)的最小值也不能在端点x=a或x=b达到．因此，f(x)在[a，b]的最大值与最小值必在开区间(a，b)达到，于是最大值点与最小值点均为极值点．又f(x)在[a，b]可导，在最大(小)值点处f′(x)=0，所以f′(x)在(a，b)至少有两个零点．
解析
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考研数学一

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