设f(x)在[a,b]上可导,且f′+(a)>0,f′-(b)>0,f(a)≥f(b),求证:f′(x)在 (a,b)至少有两个零点.

admin2016-10-26  21

问题 设f(x)在[a,b]上可导,且f′+(a)>0,f′(b)>0,f(a)≥f(b),求证:f′(x)在 (a,b)至少有两个零点.

选项

答案f(x)在[a,b]的连续性保证,在[a,b]上f(x)至少达到最大值和最小值各一次.由f(a)≥f(b)得,若f(x)的最大值在区间端点达到,则必在x=a达到.由f(x)的可导性,必有f′+(a)≤0,条件f′+(a)>0表明f(x)的最大值不能在端点达到.同理可证f(x)的最小值也不能在端点x=a或x=b达到.因此,f(x)在[a,b]的最大值与最小值必在开区间(a,b)达到,于是最大值点与最小值点均为极值点.又f(x)在[a,b]可导,在最大(小)值点处f′(x)=0,所以f′(x)在(a,b)至少有两个零点.

解析
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