2. 考研
  3. 设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则( )

设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则( )

admin2020-04-30  9
问题 设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则(               )
选项 A、αm不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示
B、αm不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示
C、αm可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示
D、αm可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示
答案B
解析 本题考查向量组的线性表示的概念．
若向量αm可由(Ⅰ)线性表示，则β可由(Ⅰ)线性表示，与题设矛盾，故αm不能由(Ⅰ)线性表示，排除选项C与D．
又向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，故存在数k1，k2，…，km，使得
    k1α1+k2α2+…+kmαm=β，
而β不能由α1，α2，…，αm-1线性表示，所以km≠0，从而
     
即αm可由(Ⅱ)线性表示．故选项(B)正确．
    注：本题解题的关键是β可由α1，α2，…，αm线性表示，但不能由前m-1个向量α1，α2，…，αm-1线性表示，可知km≠0，于是可得αm能由α1，α2，…，αm-1，β线性表示．
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