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求函数f(x,y)=x2+xy+y2在闭区域D={(x,y)|x2+y2≤1}上的最大值和最小值。
求函数f(x,y)=x2+xy+y2在闭区域D={(x,y)|x2+y2≤1}上的最大值和最小值。
admin
2019-01-26
58
问题
求函数f(x,y)=x
2
+xy+y
2
在闭区域D={(x,y)|x
2
+y
2
≤1}上的最大值和最小值。
选项
答案
由于所给的区域D是闭区域,故先考虑函数f(x,y)在区域D内部{(x,y)|x
2
+y
2
<1)的极值,这属于无条件极值,解线性方程组 [*] 所以 x=0,y=0。 在(0,0)点,有 f
xx
"=2>0,f
xy
"=1,f
yy
"=2, 所以 f
xx
"f
yy
"-(f
xy
")
2
>0, 所以(0,0)点是函数的极小值点,极小值为f(0,0)=0。 然后考虑函数f(x,y)在区域D边界{(x,y)|x
2
+y
2
=1)的极值,这属于条件极值,构造如下的拉格朗日函数 L(x,y,λ)=x
2
+xy+y
2
-λ(x
2
+y
2
-1), 对上式求偏导得如下方程组 [*] 将上述方程组化简得 4λ
2
-8λ+3=0. 解得 [*] 当[*]时,x=-y,[*]当[*]时,x=y,[*] 因为连续函数在闭区间上必可取得最大值和最小值,所以f(x,y)在边界上的最大值为[*]最小值为[*] 综上所述,f(x,y)在闭区域D上的最大值为[*]最小值为0。
解析
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考研数学二
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