设g(x)在[a，b]连续，f(x)在[a，b]二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且对x(a≤x≤b)满足f’’(x)＋g(x)f’(x)一f(x)＝0．求证：f(x)＝0(x∈[a，b])．

admin2017-08-18 36

问题设g(x)在[a，b]连续，f(x)在[a，b]二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且对

x(a≤x≤b)满足f’’(x)＋g(x)f’(x)一f(x)＝0．求证：f(x)＝0(x∈[a，b])．

选项

答案若f(x)在[a，b]上不恒为零，则f(x)在[a，b]取正的最大值或负的最小值．不妨设f(x₀＝[*]f(x)＞0，则x₀∈(a，b)且f’(x₀)＝0，f’’(x₀)≤0[*] f’’(x₀)＋g(x₀) f’(x₀)一f(x₀)＜O与已知条件矛盾．同理，若f(x₁)＝[*]f(x)＜0，同样得矛盾．因此f(x)≡0 ([*]x∈[a，b])．

解析

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考研数学一

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