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空间n个点Pi(xi,yi,zi),i=1,2,…,n;n≥4.矩阵的秩记为r,则n个点共面的充分必要条件是 ( )
空间n个点Pi(xi,yi,zi),i=1,2,…,n;n≥4.矩阵的秩记为r,则n个点共面的充分必要条件是 ( )
admin
2014-04-23
63
问题
空间n个点P
i
(x
i
,y
i
,z
i
),i=1,2,…,n;n≥4.矩阵
的秩记为r,则n个点共面的充分必要条件是 ( )
选项
A、r=1
B、r=2
C、r=3
D、1≤r≤3
答案
D
解析
先举例说明为什么不选A、B、C.例子如下:取点P
1
(1,1,1),P
2
(2,2,2),P
3
(3,3,3),P
4
(4,4,4).此4点在一条直线上,显然共面.矩阵
的秩为2,所以不选A、C.又如P
1
(1,0,0),P
2
(0,1,0),P
3
(0,0,1),
共面(共面方程x+y+z=1),矩阵
的秩为3,不选A、B.以下证明D是正确的.证明如下:设这n个点共面,则其中任取4个点,例如P
1
,P
2
,P
3
与P
4
也必共面.于是
其中最后一个行列式为零来自于三点式平面方程.所以1≤r≤3.反之,设1≤r≤3,则A中任取一个4阶矩阵,其对应的行列必为零,因此任意4点必共面,所以这n个点必共面.证毕.
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考研数学一
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