2. 考研
  3. (1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，a22k，…，annk；f(A)的对角线元

(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，a22k，…，annk；f(A)的对角线元

admin2018-11-23  28
问题 (1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积．
    (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，a22k，…，annk；f(A)的对角线元素为f(a11)，f(a22)，…，f(ann)．
选项
答案(1)设A和B都是n阶上三角矩阵，C＝AB，要说明C的对角线下的元素都为0，即i＞j时，cij＝0．cij＝A的第i个行向量和B的第j个列向量对应分量乘积之和． 由于A和B都是n阶上三角矩阵，A的第i个行向量的前面i－1个分量都是0，B的第j个列向量的后面n－j个分量都是0，而i－1＋n－j＝n＋(i－j－1)≥n，因此cij＝0． cii＝ai1b1i＋…＋aii-1bi-1i＋aiibii＋aii+1bi+1i＋…＋ainbni ＝aiibii(ai1…＝aii-1＝0，bi+1i＝…＝bni＝0)． (2)设A是上三角矩阵．由(1)，直接可得Ak是上三角矩阵，并且对角线元素为a11k，a22k，annk． 设f(A)＝amAm＋am-1Am-1＋…＋1A＋a0E.aiAi都是上三角矩阵，作为它们的和，f(A)也是上三角矩阵．f(A)的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是f(a11)，f(a22)，f(ann)．
解析
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考研数学一

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