2. 考研
  3. 设F(x)=g(x)φ(x)，x=a是φ(x)的跳跃间断点，g’(a)存在，则g(a)=0，g’(a)=0是F(x)在x=a处可导的( )

设F(x)=g(x)φ(x)，x=a是φ(x)的跳跃间断点，g’(a)存在，则g(a)=0，g’(a)=0是F(x)在x=a处可导的( )

admin2019-05-15  28
问题 设F(x)=g(x)φ(x)，x=a是φ(x)的跳跃间断点，g’(a)存在，则g(a)=0，g’(a)=0是F(x)在x=a处可导的(    )
选项 A、充分必要条件。
B、充分非必要条件。
C、必要非充分条件。
D、非充分非必要条件。
答案A
解析 因φ(x)在x=a不可导，所以不能对F(x)用乘积的求导法则，需用定义求F’(a)。题设φ(x)以x=a为跳跃间断点，则存在A±，A+≠A-。
当g(a)=0时，

这表明，g(a)=0时，F’(a)存在F’+(a)=F’-(a)g’(a)(A+-A-)=0g’(a)=0。
下面证明若F’(a)存在，则g(a)=0。
反证法，若g(a)≠0，φ(x)=，由商的求导法则，φ(x)在x=a可导，这与题设矛盾，则g(a)=0，g’(a)=0是r(x)在x=a处可导的充要条件。故选A。
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考研数学一

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