2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，f(x)／x＜0。证明： (Ⅰ)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根； (Ⅱ)方程f(x)f"(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根。

设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，f(x)／x＜0。证明： (Ⅰ)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根； (Ⅱ)方程f(x)f"(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根。

admin2018-04-14  29
问题 设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，f(x)／x＜0。证明：
(Ⅰ)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；
(Ⅱ)方程f(x)f"(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根。
选项
答案(Ⅰ)由于[*]f(x)／x＜0，则由函数极限的局部保号性可知，存在一个δ＞0，使得当x∈(0，δ)时，f(x)／x＜0，则f(δ／2))＜0。 又由于f(1)＞0，所以由零点定理可知，方程f(x)=0在(0，1)内至少有一个实根。 (Ⅱ)令F(x)=f(x)f’(x)，则F’(x)=f(x)f(x)+[f’(x)]2。 由[*]f(x)／x＜0可知，f(0)=[*]f(x)／x．x=0。 又由(Ⅰ)可知：至少存在一点x0∈(0，1)，使得f(x0)=0。 由罗尔定理可知：至少存在一点ξ1∈(0，x0)，使得f’(ξ1)=0，从而F(0)=F(ξ1)=F(x0)=0。 再由罗尔定理可知：至少存在一点ξ2∈(0，ξ1)和ξ3∈(ξ1，x0)，使得F’(ξ2)=F’(ξ3)=0。 故方程F’(x)=f(x)f"(x)+[f’(x)]2=0在(0，x0)[*](0，1)内至少存在两个不同的实根。
解析
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考研数学二

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