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设函数f(x)在区间[0,1]上具有二阶导数,且f(1)>0,f(x)/x<0。证明: (Ⅰ)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根; (Ⅱ)方程f(x)f"(x)+[f’(x)]2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根。
设函数f(x)在区间[0,1]上具有二阶导数,且f(1)>0,f(x)/x<0。证明: (Ⅰ)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根; (Ⅱ)方程f(x)f"(x)+[f’(x)]2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根。
admin
2018-04-14
67
问题
设函数f(x)在区间[0,1]上具有二阶导数,且f(1)>0,
f(x)/x<0。证明:
(Ⅰ)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根;
(Ⅱ)方程f(x)f"(x)+[f’(x)]
2
=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根。
选项
答案
(Ⅰ)由于[*]f(x)/x<0,则由函数极限的局部保号性可知,存在一个δ>0,使得当x∈(0,δ)时,f(x)/x<0,则f(δ/2))<0。 又由于f(1)>0,所以由零点定理可知,方程f(x)=0在(0,1)内至少有一个实根。 (Ⅱ)令F(x)=f(x)f’(x),则F’(x)=f(x)f(x)+[f’(x)]
2
。 由[*]f(x)/x<0可知,f(0)=[*]f(x)/x.x=0。 又由(Ⅰ)可知:至少存在一点x
0
∈(0,1),使得f(x
0
)=0。 由罗尔定理可知:至少存在一点ξ
1
∈(0,x
0
),使得f’(ξ
1
)=0,从而F(0)=F(ξ
1
)=F(x
0
)=0。 再由罗尔定理可知:至少存在一点ξ
2
∈(0,ξ
1
)和ξ
3
∈(ξ
1
,x
0
),使得F’(ξ
2
)=F’(ξ
3
)=0。 故方程F’(x)=f(x)f"(x)+[f’(x)]
2
=0在(0,x
0
)[*](0,1)内至少存在两个不同的实根。
解析
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考研数学二
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