设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩为2，且矩阵A满足A2+A=0，则与A相似的矩阵是

admin2016-01-23 45

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx的秩为2，且矩阵A满足A²+A=0，则与A相似的矩阵是

选项 A、
B、
C、
D、

答案C

解析本题求A的相似矩阵．首先要清楚二次型的矩阵是实对称矩阵，而实对称矩阵必可相似对角化，且与其特征值为主对角线上元素的对角矩阵相似；另外要清楚可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数(重根计重数)，那么问题便转化为求矩阵A的特征值上来了，这是求抽象矩阵的特征值问题——见到n阶矩阵A的多项式方程f(A)=0，就知A的特征值满足方程f(λ)=0．
解：设λ是矩阵A的任意一个特征值，α是相应的特征向量，即Aα=λα．用α右乘题设等式条件，得 A²α+Aα=0，即有(λ²+λ)α=0．因口≠0，故有λ²+λ=0，从而λ=0或λ=-1．又由矩阵A的秩为2可知，矩阵A的特征值为0，-1，-1，实对称矩阵A必与以它的特征值0，-1，-1为主对角线元素的对角矩阵相似．
注：实对称矩阵与以其特征值为主对角线元素的对角矩阵也是合同的．

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考研数学一

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