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设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的秩为2,且矩阵A满足A2+A=0,则与A相似的矩阵是
设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的秩为2,且矩阵A满足A2+A=0,则与A相似的矩阵是
admin
2016-01-23
23
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax的秩为2,且矩阵A满足A
2
+A=0,则与A相似的矩阵是
选项
A、
B、
C、
D、
答案
C
解析
本题求A的相似矩阵.首先要清楚二次型的矩阵是实对称矩阵,而实对称矩阵必可相似对角化,且与其特征值为主对角线上元素的对角矩阵相似;另外要清楚可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数(重根计重数),那么问题便转化为求矩阵A的特征值上来了,这是求抽象矩阵的特征值问题——见到n阶矩阵A的多项式方程f(A)=0,就知A的特征值满足方程f(λ)=0.
解:设λ是矩阵A的任意一个特征值,α是相应的特征向量,即Aα=λα.用α右乘题设等式条件,得 A
2
α+Aα=0, 即有(λ
2
+λ)α=0.因口≠0,故有λ
2
+λ=0,从而λ=0或λ=-1.又由矩阵A的秩为2可知,矩阵A的特征值为0,-1,-1,实对称矩阵A必与以它的特征值0,-1,-1为主对角线元素的对角矩阵相似.
注:实对称矩阵与以其特征值为主对角线元素的对角矩阵也是合同的.
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考研数学一
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