求二元函数z=f(x,y)=x2y(4－x－y)在由x轴，y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值。

admin2021-11-25 44

问题求二元函数z=f(x,y)=x²y(4－x－y)在由x轴，y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值。

选项

答案(1)求f(x,y)在区域D边界上的最值：在L₁:y=0(0≤x≤6)上，z=0 在L₂:x=0(0≤y≤6)上，z=0 在L₃:y=6－x(0≤x≤6)上，z=－2x²(6－x)=2x³－12x² 由[*]=6x²－24x=0得x=4,因为f(0,6)=0,f(6,0)=0,f(4,2)=－64,所以f(x,y)在L₃上最小值为－64，最大值为0. (2)在区域D内，由[*]得驻点为(2,1) [*] 因为AC－B²＞0且A＜0,所以(2,1)为f(x,y)的极大值点，极大值为f(2,1)=4,故z=f(x,y)在D上的最小值为m=f(4,2)=－6,最大值为M=f(2,1)=4.

解析

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