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  3. 求二元函数z=f(x,y)=x2y(4－x－y)在由x轴，y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值。

求二元函数z=f(x,y)=x2y(4－x－y)在由x轴，y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值。

admin2021-11-25  50
问题 求二元函数z=f(x,y)=x2y(4－x－y)在由x轴，y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值。
选项
答案(1)求f(x,y)在区域D边界上的最值： 在L1:y=0(0≤x≤6)上，z=0 在L2:x=0(0≤y≤6)上，z=0 在L3:y=6－x(0≤x≤6)上，z=－2x2(6－x)=2x3－12x2 由[*]=6x2－24x=0得x=4,因为f(0,6)=0,f(6,0)=0,f(4,2)=－64,所以f(x,y)在L3上最小值为－64，最大值为0. (2)在区域D内，由[*]得驻点为(2,1) [*] 因为AC－B2＞0且A＜0,所以(2,1)为f(x,y)的极大值点，极大值为f(2,1)=4,故z=f(x,y)在D上的最小值为m=f(4,2)=－6,最大值为M=f(2,1)=4.
解析
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考研数学二

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