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求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由x轴,y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值。
求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由x轴,y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值。
admin
2021-11-25
52
问题
求二元函数z=f(x,y)=x
2
y(4-x-y)在由x轴,y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值。
选项
答案
(1)求f(x,y)在区域D边界上的最值: 在L
1
:y=0(0≤x≤6)上,z=0 在L
2
:x=0(0≤y≤6)上,z=0 在L
3
:y=6-x(0≤x≤6)上,z=-2x
2
(6-x)=2x
3
-12x
2
由[*]=6x
2
-24x=0得x=4,因为f(0,6)=0,f(6,0)=0,f(4,2)=-64,所以f(x,y)在L
3
上最小值为-64,最大值为0. (2)在区域D内,由[*]得驻点为(2,1) [*] 因为AC-B
2
>0且A<0,所以(2,1)为f(x,y)的极大值点,极大值为f(2,1)=4,故z=f(x,y)在D上的最小值为m=f(4,2)=-6,最大值为M=f(2,1)=4.
解析
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