证明：πe＜eπ．

admin2020-12-10 35

问题证明：π^e＜e^π．

选项

答案令f(x)=eln x-x，x∈[1，+∞)，则fˊ(x)=e/x-1．易见f(x)仅有一个驻点x=e． f(x)在[1，+∞)上的单调性如下表所示． [*] π∈[e，+∞)，f(x)在[e，+∞)单调下降，而f(e)=0，所以f(π)＜0，即eln π＜π，即ln π^e＜ln e^π．故 π^e＜e^π

解析【思路探索】本题可用高等数学的工具解答首先变成有关函数的讨论，例如考虑
f(x)=x^e-e^x．
问题就转化为判别f(π)的正负号，而这时
fˊ(x)=ex^e-1-e^x，
可见fˊ(x)比f(x)更复杂，不能提供有效信息．于是回头考虑是否可考虑其他函数．若考虑到指数型取对数后就变成乘积型，而对数函数是单调函数，要比较π^e和e^π，只需比较
ln π^e和ln e^π．
所以应取函数
f(x)=eln x-x．
进行讨论．

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