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考研
证明:πe<eπ.
证明:πe<eπ.
admin
2020-12-10
27
问题
证明:π
e
<e
π
.
选项
答案
令f(x)=eln x-x,x∈[1,+∞),则fˊ(x)=e/x-1. 易见f(x)仅有一个驻点x=e. f(x)在[1,+∞)上的单调性如下表所示. [*] π∈[e,+∞),f(x)在[e,+∞)单调下降,而f(e)=0,所以f(π)<0,即eln π<π,即ln π
e
<ln e
π
. 故 π
e
<e
π
解析
【思路探索】本题可用高等数学的工具解答首先变成有关函数的讨论,例如考虑
f(x)=x
e
-e
x
.
问题就转化为判别f(π)的正负号,而这时
fˊ(x)=ex
e-1
-e
x
,
可见fˊ(x)比f(x)更复杂,不能提供有效信息.于是回头考虑是否可考虑其他函数.若考虑到指数型取对数后就变成乘积型,而对数函数是单调函数,要比较π
e
和e
π
,只需比较
ln π
e
和ln e
π
.
所以应取函数
f(x)=eln x-x.
进行讨论.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/iW84777K
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考研数学二
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