证明：πe＜eπ．

admin2020-12-10 77

问题证明：π^e＜e^π．

选项

答案令f(x)=eln x-x，x∈[1，+∞)，则fˊ(x)=e/x-1．易见f(x)仅有一个驻点x=e． f(x)在[1，+∞)上的单调性如下表所示． [*] π∈[e，+∞)，f(x)在[e，+∞)单调下降，而f(e)=0，所以f(π)＜0，即eln π＜π，即ln π^e＜ln e^π．故 π^e＜e^π

解析【思路探索】本题可用高等数学的工具解答首先变成有关函数的讨论，例如考虑
f(x)=x^e-e^x．
问题就转化为判别f(π)的正负号，而这时
fˊ(x)=ex^e-1-e^x，
可见fˊ(x)比f(x)更复杂，不能提供有效信息．于是回头考虑是否可考虑其他函数．若考虑到指数型取对数后就变成乘积型，而对数函数是单调函数，要比较π^e和e^π，只需比较
ln π^e和ln e^π．
所以应取函数
f(x)=eln x-x．
进行讨论．

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/iW84777K

考研数学二

相关试题推荐

现有两只桶分别盛有10L浓度为15g/L的盐水．现同时以2L/min的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以2L/min的速度注入第二只桶中，然后以2L/min的速度从第二只桶中排出，问5min后第二只桶中含盐多少克?
[*]
求累次积分
计算二重积，其中积分区域D＝{χ，y)｜0≤χ2≤y≤χ≤1}
已知y＝u(x)x是微分方程的解，则在初始条件｜x＝2下，上述微分方程的特解是y＝_______．
(2000年)设曲线y＝aχ2(a＞0，χ≥0)与y－1－χ2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y＝aχ2围成一平面图形．问a为何值时，该图形绕χ轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?
[2004年]设函数f(x)在(一∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上f(x)=x(x2一4)，若对任意x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数．写出f(x)在[一2，0)上的表达式；
已知三阶矩阵A和三维向量x，使得x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x。计算行列式｜A+E｜。
求I=，其中D为y=，y=x及x=0所围成区域．
记平面区域D={(x，y)||x|+|y|≤1}，计算如下二重积分：常数λ＞0．

随机试题

图a对称结构可简化为图b结构来计算。()
食滞胃脘证与胃脘气滞证的共同表现有
鞣质具有的理化性质不包括
王某以诽谤罪向法院自诉李某。在一审审判过程中，经调解达成协议，调解书合法送达后王某反悔。在此情况下，王某有权采取哪种做法?()
通常情况下，从出现以下()情况时，招标人将不予受理投标文件。
下列属于会计核算方法体系的是()。
加工贸易企业办理转内销货物时应：()。
按照授信形式不同，客户授信额度可分为（）
幼儿园的玩教具应有教育意义并符合_________________的要求。
算盘：计算器

最新回复(0)

证明：πe＜eπ．

考研数学二

现有两只桶分别盛有10L浓度为15g/L的盐水．现同时以2L/min的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以2L/min的速度注入第二只桶中，然后以2L/min的速度从第二只桶中排出，问5min后第二只桶中含盐多少克?

[*]

求累次积分

计算二重积，其中积分区域D＝{χ，y)｜0≤χ2≤y≤χ≤1}

已知y＝u(x)x是微分方程的解，则在初始条件｜x＝2下，上述微分方程的特解是y＝_______．

(2000年)设曲线y＝aχ2(a＞0，χ≥0)与y－1－χ2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y＝aχ2围成一平面图形．问a为何值时，该图形绕χ轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?

[2004年]设函数f(x)在(一∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上f(x)=x(x2一4)，若对任意x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数．写出f(x)在[一2，0)上的表达式；

已知三阶矩阵A和三维向量x，使得x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x。计算行列式｜A+E｜。

求I=，其中D为y=，y=x及x=0所围成区域．

记平面区域D={(x，y)||x|+|y|≤1}，计算如下二重积分：常数λ＞0．

图a对称结构可简化为图b结构来计算。()

食滞胃脘证与胃脘气滞证的共同表现有

鞣质具有的理化性质不包括

王某以诽谤罪向法院自诉李某。在一审审判过程中，经调解达成协议，调解书合法送达后王某反悔。在此情况下，王某有权采取哪种做法?()

通常情况下，从出现以下()情况时，招标人将不予受理投标文件。

下列属于会计核算方法体系的是()。

加工贸易企业办理转内销货物时应：()。

按照授信形式不同，客户授信额度可分为（）

幼儿园的玩教具应有教育意义并符合_________________的要求。

算盘：计算器