2. 考研
  3. 证明：πe＜eπ．

证明：πe＜eπ．

admin2020-12-10  57
问题 证明：πe＜eπ．
选项
答案令f(x)=eln x-x，x∈[1，+∞)，则fˊ(x)=e/x-1． 易见f(x)仅有一个驻点x=e． f(x)在[1，+∞)上的单调性如下表所示． [*] π∈[e，+∞)，f(x)在[e，+∞)单调下降，而f(e)=0，所以f(π)＜0，即eln π＜π，即ln πe＜ln eπ． 故 πe＜eπ
解析 【思路探索】本题可用高等数学的工具解答首先变成有关函数的讨论，例如考虑
    f(x)=xe-ex．
问题就转化为判别f(π)的正负号，而这时
    fˊ(x)=exe-1-ex，
可见fˊ(x)比f(x)更复杂，不能提供有效信息．于是回头考虑是否可考虑其他函数．若考虑到指数型取对数后就变成乘积型，而对数函数是单调函数，要比较πe和eπ，只需比较
    ln πe和ln eπ．
所以应取函数
    f(x)=eln x-x．
进行讨论．
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考研数学二

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