[2017年] 设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(一1)=1，f(0)=一1，且f＂(x)＞0，则( )

admin2019-04-05 38

问题 [2017年] 设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(一1)=1，f(0)=一1，且f＂(x)＞0，则( )

选项 A、∫¹_-1f(x)dx＞0
B、∫¹_-1f(x)dx＜0
C、∫⁰_-1f(x)dx＞∫¹₀f(x)dx
D、∫⁰_-1f(x)dx＜∫¹₀f(x)dx

答案B

解析结合题干和选项，可选取x∈(一1，0)和x∈(0，1)讨论，由于函数f(x)
二阶可导，且f＂(x)＞0，可知f(x)在x∈(一1，1)内连续，故f(x)dx=∫⁰_-1f(x)dx+∫¹₀f(x)dx．另一种方法是选取特殊函数进行求解．
解一在x∈(0，1)内，记G(x)=

，则G＇(x)=

，而

=f＇(ξ)，ξ∈(0，1)，所以G(x)在(0，1)内递增，G(x)＜G(1)，即f(x)＜2x一1，
x∈(0，1),∫¹₀f(x)dx＜∫¹₀(2x—1)dx=0．
同理，当x∈(一1，0)时，∫⁰_-1 f(z)dx＜0．
故∫¹_-1f(x)dx=∫⁰_-1f(x)dx+∫¹₀f(x)dx＜0．仅(B)入选．
解二取特殊函数法．选取符合题设条件的函数，
f(x)=2x²一l，显然∫¹_-1f(x)dx＜0(见图1．2．1．1中阴影部分)．

由图1．2．1．1还可知，
∫⁰_-1f(x)dx=∫¹₀f(x)dx，排除(C)和(D)．

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考研数学二

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