在半径为R的圆的一切内接三角形中,求出其面积最大者.

admin2018-06-27  72

问题 在半径为R的圆的一切内接三角形中,求出其面积最大者.

选项

答案用x,y,z表示三角形各边所对的中心角,则三角形的面积S可用x,y,z,R表示为 S=[*]R2sinx+[*]R2siny+[*]R2sinz, 其中z=2π-x-y,将其代入得S=[*]R2[sinx+siny-sin(x+y)],定义域是 D={(x,y)|x≥0,y≥0,x+y≤2π}. 现求S(x,y)的驻点: [*]R2[cosx-cos(x+y)],[*]R2[cosy-cos(x+y)]. 解[*],得唯一驻点:(x,y)=[*]在D内部,又在D的边界上即x=0或y=0或x+y=2π时S(x,y)=0.因此,S在[*]取最大值. 因x=y=[*],因此内接等边三角形面积最大.

解析
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