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过坐标原点作曲线y=ex的切线,该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D.求 (I)D的面积A; (Ⅱ)D绕直线x=1所成的旋转体的体积V.
过坐标原点作曲线y=ex的切线,该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D.求 (I)D的面积A; (Ⅱ)D绕直线x=1所成的旋转体的体积V.
admin
2014-04-16
90
问题
过坐标原点作曲线y=e
x
的切线,该切线与曲线y=e
x
以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D.求
(I)D的面积A;
(Ⅱ)D绕直线x=1所成的旋转体的体积V.
选项
答案
[*] 设切点坐标为P(x
0
,y
0
),于是曲线y=e
x
在点P的切线斜率为y
0
’
=e1
x
0
,切线方程为y一y
0
=e
x
0
(x一x
0
).它经过点(0,0),所以一y
0
=一x
0
e
x
0
.又因y
0
=e
x
0
,代入求得x
0
=1。从而y
0
=e=c,切线方程为y=ex.①取水平条为A的面积元索,D的面积[*](积分[*]为反常积分[*]来自洛必达法则)②D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为[*]从而[*]
解析
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考研数学二
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