过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．求 (I)D的面积A； (Ⅱ)D绕直线x=1所成的旋转体的体积V．

admin2014-04-16 42

问题过坐标原点作曲线y=e^x的切线，该切线与曲线y=e^x以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．求
(I)D的面积A；
(Ⅱ)D绕直线x=1所成的旋转体的体积V．

选项

答案[*] 设切点坐标为P(x₀，y₀)，于是曲线y=e^x在点P的切线斜率为y₀^’=e1^x₀，切线方程为y一y₀=e^x₀(x一x₀)．它经过点(0，0)，所以一y₀=一x₀e^x₀．又因y₀=e^x₀，代入求得x₀=1。从而y₀=e=c，切线方程为y=ex．①取水平条为A的面积元索，D的面积[*](积分[*]为反常积分[*]来自洛必达法则)②D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为[*]从而[*]

解析

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考研数学二

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过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．求 (I)D的面积A； (Ⅱ)D绕直线x=1所成的旋转体的体积V．

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