过坐标原点作曲线y=ex的切线,该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D.求 (I)D的面积A; (Ⅱ)D绕直线x=1所成的旋转体的体积V.

admin2014-04-16  40

问题 过坐标原点作曲线y=ex的切线,该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D.求
(I)D的面积A;
(Ⅱ)D绕直线x=1所成的旋转体的体积V.

选项

答案[*] 设切点坐标为P(x0,y0),于是曲线y=ex在点P的切线斜率为y0=e1x0,切线方程为y一y0=ex0(x一x0).它经过点(0,0),所以一y0=一x0ex0.又因y0=ex0,代入求得x0=1。从而y0=e=c,切线方程为y=ex.①取水平条为A的面积元索,D的面积[*](积分[*]为反常积分[*]来自洛必达法则)②D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为[*]从而[*]

解析
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