2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且f(0)=f(2)=0，f(1)=2．求证：至少存在一点ξ∈(0，2)使得f’’(ξ)=一4．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且f(0)=f(2)=0，f(1)=2．求证：至少存在一点ξ∈(0，2)使得f’’(ξ)=一4．

admin2014-02-05  160
问题 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且f(0)=f(2)=0，f(1)=2．求证：至少存在一点ξ∈(0，2)使得f’’(ξ)=一4．
选项
答案【证明一】按题设可把函数f(x)在x=1处展开为泰勒公式，得[*](*)在(*)式中分别令x=0与x=2，并利用f(1)=2即知[*]把以上两式相加就有[*]这样一来，若f’’(ξ1)=f’’(ξ2)，则f’’(ξ1)=f’’(ξ2)=一4．从而这时ξ可取为ξ1或ξ2若f’’(ξ1)≠f’’(ξ2)，这时[*][f’’(ξ1)+f’’(ξ2)]=一4就是f’’(ξ1)与f’’(ξ2)的一个中间值，按导函数的中间值定理(又称为达布定理)即知存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](0，2)使得f’’(ξ)=一4． 【证明二】转化为证明某函数的二阶导数在(0，2)[*]零点．设g’’(x)=一4．令F(x)=f(x)一g(x)则[*]ξ∈(0，2)，使f’’(ξ)=一4[*]F’’(ξ)=0．注意g(x)=一2x2+c1x+c2，于是F(0)=f(0)一g(0)=一c2F(1)=(1)一g(1)=4一c1—c2F(2)=f(2)一g(2)=8—2c1—c2为使F(0)=F(1)=F(2)，取c1=4，c2=0，F(x)=f(x)一g(x)=f(x)一(一2x2+4x)满足F(0)=F(1)=F(2)=0．由于函数F(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶町导，因而可在区间[0，1]与[1，2]上分别对函数F(x)应用罗尔定理，从而知分别存在η1∈(0，1)与η2∈(1，2)使得F’(η1)=F’(η2)=0，由题设知F’(x)在区间[η1，η2]上也满足罗尔定理的条件，再在区间[η1，η2]上对导函数F’(x)应用罗尔定理，又知存在ξ∈(η1，η2)[*](0，2)使得F’’(ξ)=f’’(ξ)一g’’(ξ)=0，即f’’(ξ)=g’’(ξ)=一4成立．
解析
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考研数学二

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