首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内具有二阶导数,且f(0)=f(2)=0,f(1)=2.求证:至少存在一点ξ∈(0,2)使得f’’(ξ)=一4.
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内具有二阶导数,且f(0)=f(2)=0,f(1)=2.求证:至少存在一点ξ∈(0,2)使得f’’(ξ)=一4.
admin
2014-02-05
161
问题
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内具有二阶导数,且f(0)=f(2)=0,f(1)=2.求证:至少存在一点ξ∈(0,2)使得f
’’
(ξ)=一4.
选项
答案
【证明一】按题设可把函数f(x)在x=1处展开为泰勒公式,得[*](*)在(*)式中分别令x=0与x=2,并利用f(1)=2即知[*]把以上两式相加就有[*]这样一来,若f
’’
(ξ
1
)=f
’’
(ξ
2
),则f
’’
(ξ
1
)=f
’’
(ξ
2
)=一4.从而这时ξ可取为ξ
1
或ξ
2
若f
’’
(ξ
1
)≠f
’’
(ξ
2
),这时[*][f
’’
(ξ
1
)+f
’’
(ξ
2
)]=一4就是f
’’
(ξ
1
)与f
’’
(ξ
2
)的一个中间值,按导函数的中间值定理(又称为达布定理)即知存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,2)使得f
’’
(ξ)=一4. 【证明二】转化为证明某函数的二阶导数在(0,2)[*]零点.设g
’’
(x)=一4.令F(x)=f(x)一g(x)则[*]ξ∈(0,2),使f
’’
(ξ)=一4[*]F
’’
(ξ)=0.注意g(x)=一2x
2
+c
1
x+c
2
,于是F(0)=f(0)一g(0)=一c
2
F(1)=(1)一g(1)=4一c
1
—c
2
F(2)=f(2)一g(2)=8—2c
1
—c
2
为使F(0)=F(1)=F(2),取c
1
=4,c
2
=0,F(x)=f(x)一g(x)=f(x)一(一2x
2
+4x)满足F(0)=F(1)=F(2)=0.由于函数F(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶町导,因而可在区间[0,1]与[1,2]上分别对函数F(x)应用罗尔定理,从而知分别存在η
1
∈(0,1)与η
2
∈(1,2)使得F
’
(η
1
)=F
’
(η
2
)=0,由题设知F
’
(x)在区间[η
1
,η
2
]上也满足罗尔定理的条件,再在区间[η
1
,η
2
]上对导函数F
’
(x)应用罗尔定理,又知存在ξ∈(η
1
,η
2
)[*](0,2)使得F
’’
(ξ)=f
’’
(ξ)一g
’’
(ξ)=0,即f
’’
(ξ)=g
’’
(ξ)=一4成立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vT34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
[2006年]设f(x,y)与φ(z,y)均为可微函数,且φy’(x,y)≠0,已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件φ(x,Y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是().
(94年)设函数f(χ)在闭区间[a,b]上连续,且f(χ)>0,则方程∫aχf(t)dt+=0在开区间(a,b)内的根有
(02年)设常数a≠,则=_______.
(2014年)设D是由曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域,则D的面积为______.
(2007年)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),b(b)=g(b),证明:(I)存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η);(Ⅱ)存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ)。
设随机变量X的分布律为X~,随机变量y的概率密度为且随机变量X,Y相互独立,求随机变量Z=X+Y的分布函数。
微分方程y"-4y=xe2x+2sinx的特解形式为()。
设平面图形是曲线y=x2和y=1,y=4及x=0在第一象限围成的部分,试求该平面图形绕y轴旋转所生成的旋转体的体积.
方程4y"+8y′+3y=0的通解为_____________.
下列无穷小中阶数最高的是()。
随机试题
增值税的应税销售额不包括()
服用短效避孕药期间如漏服,补服的时间应在
【背景资料】某建设单位新建办公楼,与甲施工单位签订施工总承包合同。该工程门厅大堂内墙设计做法为干挂石材,多功能厅隔墙设计做法为石膏板骨架隔墙。施工过程中,发生了如下事件:事件一:建设单位将该工程所有门窗单独发包,并与具备相应资质条件的乙施工单位签
下列各种账簿中,能提供某一类经济业务增减变化总括会计信息的是()。
在确定目标市场与投资者方面,基金销售机构面临的重要问题之一就是分析投资者的真实需求,不包括投资者的()。
一个300多户业主,23500m2的小型物业管理项目,准备设立一个小型的物业管理项目组织机构。描述物业管理项目组织机构的设置步骤?
刘邦通过废除丞相、建立厂卫特务机构、以八股取士和在地方设三司等措施,极大地强化了中央集权的封建君主专制。()
设y=ln(1-3-x),则dy=________.
在微型计算机的内存储器中,不能用指令修改其存储内容的部分是()。
WhenRochesterdecidedtogotoschool,heremployerWhichofthefollowingisNOTmentionedasawaytoeaseone’sstiffnessa
最新回复
(
0
)