首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内具有二阶导数,且f(0)=f(2)=0,f(1)=2.求证:至少存在一点ξ∈(0,2)使得f’’(ξ)=一4.
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内具有二阶导数,且f(0)=f(2)=0,f(1)=2.求证:至少存在一点ξ∈(0,2)使得f’’(ξ)=一4.
admin
2014-02-05
133
问题
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内具有二阶导数,且f(0)=f(2)=0,f(1)=2.求证:至少存在一点ξ∈(0,2)使得f
’’
(ξ)=一4.
选项
答案
【证明一】按题设可把函数f(x)在x=1处展开为泰勒公式,得[*](*)在(*)式中分别令x=0与x=2,并利用f(1)=2即知[*]把以上两式相加就有[*]这样一来,若f
’’
(ξ
1
)=f
’’
(ξ
2
),则f
’’
(ξ
1
)=f
’’
(ξ
2
)=一4.从而这时ξ可取为ξ
1
或ξ
2
若f
’’
(ξ
1
)≠f
’’
(ξ
2
),这时[*][f
’’
(ξ
1
)+f
’’
(ξ
2
)]=一4就是f
’’
(ξ
1
)与f
’’
(ξ
2
)的一个中间值,按导函数的中间值定理(又称为达布定理)即知存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,2)使得f
’’
(ξ)=一4. 【证明二】转化为证明某函数的二阶导数在(0,2)[*]零点.设g
’’
(x)=一4.令F(x)=f(x)一g(x)则[*]ξ∈(0,2),使f
’’
(ξ)=一4[*]F
’’
(ξ)=0.注意g(x)=一2x
2
+c
1
x+c
2
,于是F(0)=f(0)一g(0)=一c
2
F(1)=(1)一g(1)=4一c
1
—c
2
F(2)=f(2)一g(2)=8—2c
1
—c
2
为使F(0)=F(1)=F(2),取c
1
=4,c
2
=0,F(x)=f(x)一g(x)=f(x)一(一2x
2
+4x)满足F(0)=F(1)=F(2)=0.由于函数F(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶町导,因而可在区间[0,1]与[1,2]上分别对函数F(x)应用罗尔定理,从而知分别存在η
1
∈(0,1)与η
2
∈(1,2)使得F
’
(η
1
)=F
’
(η
2
)=0,由题设知F
’
(x)在区间[η
1
,η
2
]上也满足罗尔定理的条件,再在区间[η
1
,η
2
]上对导函数F
’
(x)应用罗尔定理,又知存在ξ∈(η
1
,η
2
)[*](0,2)使得F
’’
(ξ)=f
’’
(ξ)一g
’’
(ξ)=0,即f
’’
(ξ)=g
’’
(ξ)=一4成立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vT34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
(09年)当χ→0时,f(χ)=χ-sinaχ与g(χ)=χ2ln(1-bχ)是等价无穷小,则【】
(14年)设函数f(χ)具有2阶导数,g(χ)=f(0)(1-χ)+f(1)χ,则在区间[0,1]上【】
(08年)设f(χ)是周期为2的连续函数.(Ⅰ)证明对任意的实数t,有∫tt+2f(χ)dχ=∫02f(χ)dχ;(Ⅱ)证明G(χ)=∫0χ[2f(t)-∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数.
设X,Y为两个随机变量,其中E(X)=2,E(Y)=-1,D(X)=9,D(Y)=16,且X,Y的相关系数为ρ=-1/2,由切比雪夫不等式得P{|X+Y-1|≤10}≥()。
求解定积分
求微分方程xdy+(y-3)dx=0的满足初始条件y(1)=0特解.
将极限表示为定积分的形式为____________.
已知y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在点x=一1处取得极值,点(0,1)为曲线的拐点,试求a,b,C的值.
设f(x)可导,且满足证明f(x)=ex.
设f(x)=∫0tanxarctant2dt,g(x)=x-sinx,当x→0时,比较这两个无穷小的关系.
随机试题
ThenameWarsoftheRoseswas,infact,coinedbythegreat19thcenturynovelist______.()
女,22岁,要求美容修复前牙。查:全口牙呈不同程度浅灰色,尤以前牙明显。牙齿表面光滑无缺损最可能的诊断为A.浅龋B.氟斑牙C.四环素牙D.死髓变色牙E.釉质发育体
外感风热兼见咳嗽蛲虫病,头虱、体虱
焊炬(俗称焊枪)是气焊时用于()进行焊接的工具。
商业银行个人理财业务人员应符合的资格要求包括()。
实现抵押权的主要方式有()。
下列各项中,属于增值税混合销售行为的是()。
借景及情就是借助眼前的景物,抒发导游员的观点和思想感情,以调动旅游者的情绪,给旅游者启示和联想。()
曾经访问某位登山专家,其中一个问题是:“如果我们在半山腰,突然遇到大雨,应该怎么办?”登山专家说:“你应该向山顶走。”“为什么不往山下跑?山顶风雨不是更大吗?”我怀疑地问。“往山顶走,固然风雨可能更大,却不足以威胁你的生命。至于向山下跑,看来风雨小些,似乎
TheObamaadministrationwonavictorytodayintheircampaigntostrikedownvoterIDlaws.OnlydaysaftertheUnitedStatesD
最新回复
(
0
)