2. 考研
  3. 设f(x),g(x)在[a,b]上连续，且满足 ∫axf(t)dt≥∫xag(t)dt，x∈[a,b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt 证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。

设f(x),g(x)在[a,b]上连续，且满足 ∫axf(t)dt≥∫xag(t)dt，x∈[a,b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt 证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。

admin2022-09-05  55
问题 设f(x),g(x)在[a,b]上连续，且满足
∫axf(t)dt≥∫xag(t)dt，x∈[a,b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt
证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。
选项
答案令F(x)=f(x)－g(x),G(x)=∫axF(t)dt由题设知G(x)≥0,x∈[a,b],G(a)=G(b)=0,G’(x)=F(x),从而 ∫abxF(x)dx=∫abxdG(x)=xG(x)|ab－∫abG(x)dx=－∫abG(x)dx 由于G(x)≥0,x∈[a,b]，故有－∫abG(x)dx≤0，即∫abxF(x)dx≤0 因此∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx.
解析
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考研数学三

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