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设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足 ∫axf(t)dt≥∫xag(t)dt,x∈[a,b),∫abf(t)dt=∫abg(t)dt 证明:∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足 ∫axf(t)dt≥∫xag(t)dt,x∈[a,b),∫abf(t)dt=∫abg(t)dt 证明:∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。
admin
2022-09-05
40
问题
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足
∫
a
x
f(t)dt≥∫
x
a
g(t)dt,x∈[a,b),∫
a
b
f(t)dt=∫
a
b
g(t)dt
证明:∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
b
xg(x)dx。
选项
答案
令F(x)=f(x)-g(x),G(x)=∫
a
x
F(t)dt由题设知G(x)≥0,x∈[a,b],G(a)=G(b)=0,G’(x)=F(x),从而 ∫
a
b
xF(x)dx=∫
a
b
xdG(x)=xG(x)|
a
b
-∫
a
b
G(x)dx=-∫
a
b
G(x)dx 由于G(x)≥0,x∈[a,b],故有-∫
a
b
G(x)dx≤0,即∫
a
b
xF(x)dx≤0 因此∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
b
xg(x)dx.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ifR4777K
0
考研数学三
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