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  3. 设矩阵，X是一个2阶矩阵。 (Ⅰ)求满足矩阵方程ABX－XAB＝O的所有的X (Ⅱ)矩阵方程是否有解，如果有解，求其解。

设矩阵，X是一个2阶矩阵。 (Ⅰ)求满足矩阵方程ABX－XAB＝O的所有的X (Ⅱ)矩阵方程是否有解，如果有解，求其解。

admin2019-01-25  35
问题 设矩阵，X是一个2阶矩阵。
(Ⅰ)求满足矩阵方程ABX－XAB＝O的所有的X
(Ⅱ)矩阵方程是否有解，如果有解，求其解。
选项
答案(Ⅰ)设未知矩阵为[*]，代入方程可得 [*] 则该矩阵方程等价于齐次线性方程组[*] 对该方程的系数矩阵实施初等行变换， [*] 其中自由变量为x3，x4，令3＝0，x4＝1和x3＝1，x4＝0，可得基础解系为 α1＝(2，2，1，0)T，α2＝(－1，0，0，1)T， 因此 (x1，x2，x3，x4)T＝k1α1＋k2α2＝(2k1－k2，2k1，k1，k2)T， 则满足矩阵方程的矩阵X为[*]，k1，k2为任意常数。 (Ⅱ)矩阵方程[*]可转化为非齐次线性方程组 [*] 未知数个数多于方程个数，因此必有解，对应齐次方程组的通解为 x0＝k1α1＋k2α2＝(2k1－k2，2k1，k1，k2)T， 非齐次线性方程组的一个特解为β＝(－2，－1，0，0)T。因此方程组的通解为 x0＝k1α1＋k2α2＋β＝(2k1－k2－2，2k1－1，k1，k2)T。 则满足矩阵方程的矩阵X为[*]，k1，k2为任意常数。
解析 本题考查矩阵方程。该题第一问求解矩阵方程时可通过变形将其转化为求解齐次线性方程组的解，根据齐次线性方程组求通解的步骤求出通解即为X的四个元素。第二问等价于求非齐次线性方程组的解的存在性。
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考研数学三

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