设x＞0，常数a＞e，证明：(a+x)a＜aa+x．

admin2021-01-19 26

问题设x＞0，常数a＞e，证明：(a+x)^a＜a^a+x．

选项

答案由于y=lnx为单调增函数，所以欲证(a+x)^a＜a^a+x，只需证aln(a+x)＜(a+x)lna．令 f(x)=(a+x)lna 一 aln(a+x) f’(x)=lna一[*]，由于a＞e，则lna＞1，又x＞0，则[*]＜1故f’(x)＞0，所以函数f(x)在 [0，+∞)上单调增加，而f(0)=0所以f(x)＞0(0＜x＜+∞) 即 aln(a+x)＜(a+x)lna， (a+x)^a＜a^a+x．

解析

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