设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A、B均为m×n矩阵,现有4个命题: ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)≥秩(B); ②若秩(A)≥秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解; ③若Ax=0与Bx=0同解,则秩(A

admin2019-02-01  40

问题 设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A、B均为m×n矩阵,现有4个命题:
    ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)≥秩(B);
    ②若秩(A)≥秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解;
    ③若Ax=0与Bx=0同解,则秩(A)=秩(B);
    ④若秩(A)=秩(B),则Ax=0与Bx=0同解.
    以上命题中正确的是

选项 A、①②
B、①③
C、②④
D、③④

答案B

解析 若Ax=0的解均是Bx=0的解,则Ax=0的解空间是Bx=0的解空间的子空间,从而有n-r(A)≤n-r(B),r(A)≥r(B).当Ax=0与Bx=0同解时,还有r(B)≥r(A),从而有r(A)=r(B),因此,①与③正确.
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