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  3. 已知三阶矩阵A满足A3＝2E，若B＝A2＋2A＋E，证明B可逆，且求B－1。

已知三阶矩阵A满足A3＝2E，若B＝A2＋2A＋E，证明B可逆，且求B－1。

admin2015-11-16  86
问题 已知三阶矩阵A满足A3＝2E，若B＝A2＋2A＋E，证明B可逆，且求B－1。
选项
答案解：A的元素没有给出，利用可逆矩阵的定义证之，注意到 B＝A2＋2A＋E＝(A＋E)2， 只需证A＋E可逆。 证 由A3＝2E得到A3＋E＝3E，即 (A＋E)(A2－A＋E)＝3E， 故A＋E可逆，且 (A＋E)－1＝(A2－A＋E)／3。 于是B＝A＋E可逆，且 B－1＝[(A－E)2]－1＝[(A＋E)－1]2 ＝[(A2－A＋E)／3]2＝(A2－A＋E)2／9。
解析
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考研数学一

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