已知三阶矩阵A满足A3＝2E，若B＝A2＋2A＋E，证明B可逆，且求B－1。

admin2015-11-16 66

问题已知三阶矩阵A满足A³＝2E，若B＝A²＋2A＋E，证明B可逆，且求B^－1。

选项

答案解：A的元素没有给出，利用可逆矩阵的定义证之，注意到 B＝A²＋2A＋E＝(A＋E)²，只需证A＋E可逆。证由A³＝2E得到A³＋E＝3E，即 (A＋E)(A²－A＋E)＝3E，故A＋E可逆，且 (A＋E)^－1＝(A²－A＋E)／3。于是B＝A＋E可逆，且 B^－1＝[(A－E)²]^－1＝[(A＋E)^－1]² ＝[(A²－A＋E)／3]²＝(A²－A＋E)²／9。

解析

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考研数学一

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