2. 考研
  3. 设f(x)二阶可导，f(0)＝0，且f’’(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有 f(a＋b)＞f(a)＋f(b)．

设f(x)二阶可导，f(0)＝0，且f’’(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有 f(a＋b)＞f(a)＋f(b)．

admin2018-01-23  25
问题 设f(x)二阶可导，f(0)＝0，且f’’(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有
f(a＋b)＞f(a)＋f(b)．
选项
答案不妨设a≤b，由微分中值定理，存在ξ1(0，a)，ξ2∈(b，a＋b)，使得 [*] 两式相减得f(a＋b)－f(a)－f(b)＝[f’(ξ2)－f’(ξ1)]a． 因为f’’(x)＞0，所以f’(x)单调增加，而ξ1＜ξ2，所以f’(ξ1)＜f’(ξ2)， 故f(a＋b)－f(a)－f(b)＝[f’(ξ2)－f’(ξ)]a＞0，即 f(a＋b)＞f(a)＋f(b)．
解析
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考研数学三

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