已知α1=(1,2,1)T,α2=(1,1,a)T分别是三阶实对称不可逆矩阵A的属于特征值λ1=1与λ2=-1的特征向量。若β=(8,0,10)T,试求Akβ。

admin2017-01-16  19

问题 已知α1=(1,2,1)T,α2=(1,1,a)T分别是三阶实对称不可逆矩阵A的属于特征值λ1=1与λ2=-1的特征向量。若β=(8,0,10)T,试求Akβ。

选项

答案由A不可逆可知,A有特征值λ3=0,设特征值0对应的特征向量为α3=(x1,x2,x3)T。注意到A为实对称矩阵,其不同特征值对应的特征向量必正交,故由α1T.α2=0,α1T.α3=0,α2T.α3=0可得 [*] 解得α=-3,x1=7x3,x2=-4x3。 令α3=(7,-4,1)T,将β写成α1,α2,α3的线性组合,由初等行变换 (α1,α2,α3,β) [*] 可得β=3α1-2α23。 由Akαiikαi(i=1,2,3)得到 Akβ=Ak(3α1-2α23)=3Akα1-2Akα2+Akα3=3λ1kα1-2λk2α2 =3α1-2(-1)kα2 =(3+2(-1)k+1,6+2(-1)k+1,3+6(-1)k)T, 其中k为正整数。

解析
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