已知r(α1,α2,α3)=2,r(α2,α3,α4)=3,证明: (Ⅰ)α1能由α2,α3线性表示; (Ⅱ)α4不能由α1,α2,α3线性表示。

admin2017-12-29  23

问题 已知r(α1,α2,α3)=2,r(α2,α3,α4)=3,证明:
(Ⅰ)α1能由α2,α3线性表示;
(Ⅱ)α4不能由α1,α2,α3线性表示。

选项

答案(Ⅰ)r(α1,α2,α3)=2<3[*]α1,α2,α3线性相关; 假设α1不能由α2,α3线性表示,则α2,α3线性相关。 而由r(α2,α3,α4)=3[*]α2,α3,α4线性无关[*]α2,α3线性无关,与假设矛盾。 综上所述,α1必能由α2,α3线性表示。 (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,α1可由α2,α3线性表示,则若α4能由α1,α2,α3线性表示[*]α4能由α2,α3 线性表示,即r(α2,α3,α4)<3与r(α2,α3,α4)=3矛盾,故α4不能由α1,α2,α3线性表示。

解析
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