2. 考研
  3. 设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都有f(tx，ty)=t—2一f(x，y)． 证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有∮Lyf(x，y)dx一xf(x，y)dy=0．

设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都有f(tx，ty)=t—2一f(x，y)． 证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有∮Lyf(x，y)dx一xf(x，y)dy=0．

admin2016-01-15  52
问题 设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都有f(tx，ty)=t—2一f(x，y)．
    证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有∮Lyf(x，y)dx一xf(x，y)dy=0．
选项
答案在等式f(tx，ty)=t—2f(x，y)两边对t求导得 xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=一2t—3f(x，y)． 令t=1，则 xf’1(x，y)+yf’2(x，y)=一2f(x，y)， (*) 设P(x，y)=yf(x，y)，Q(x，y)=一xf(x，y)，则 [*] 故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有 ∮Lyf(x,y)dx一xf(x，y)dy=0
解析
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考研数学一

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