设在上半平面D={(x,y)|y>0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t—2一f(x,y). 证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有∮Lyf(x,y)dx一xf(x,y)dy=0.

admin2016-01-15  26

问题 设在上半平面D={(x,y)|y>0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t—2一f(x,y).
    证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有∮Lyf(x,y)dx一xf(x,y)dy=0.

选项

答案在等式f(tx,ty)=t—2f(x,y)两边对t求导得 xf’1(tx,ty)+yf’2(tx,ty)=一2t—3f(x,y). 令t=1,则 xf’1(x,y)+yf’2(x,y)=一2f(x,y), (*) 设P(x,y)=yf(x,y),Q(x,y)=一xf(x,y),则 [*] 故由曲线积分与路径无关的定理可知,对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有 ∮Lyf(x,y)dx一xf(x,y)dy=0

解析
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