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设向量组α1,α2,…,αm中任一向量αi不是它前面i一1个向量的线性组合,且α1≠0,试证:向量组α1,α2,…,αm的秩为m.
设向量组α1,α2,…,αm中任一向量αi不是它前面i一1个向量的线性组合,且α1≠0,试证:向量组α1,α2,…,αm的秩为m.
admin
2020-09-25
39
问题
设向量组α
1
,α
2
,…,α
m
中任一向量α
i
不是它前面i一1个向量的线性组合,且α
1
≠0,试证:向量组α
1
,α
2
,…,α
m
的秩为m.
选项
答案
假设α
1
,α
2
,…,α
m
线性相关,则有不全为零的数k
1
,k
2
,…,k
m
,使 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m
α
m
=0. 我们断言k
m
=0,否则有[*]即α
m
可由它前面的m一1个向量线性表示,矛盾.所以k
m
=0.从而有k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m-1
α
m-1
=0. 类似前面的证法我们可得k
m-1
=0,…,k
2
=0.于是有k
1
α
1
=0. 但α
1
≠0,所以k
1
=0.而这与k
1
,k
2
,…,k
m
不全为零矛盾.所以α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关,从而可得其秩为m.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jJx4777K
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考研数学三
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