2. 考研
  3. 设向量组α1，α2，…，αm中任一向量αi不是它前面i一1个向量的线性组合，且α1≠0，试证：向量组α1，α2，…，αm的秩为m．

设向量组α1，α2，…，αm中任一向量αi不是它前面i一1个向量的线性组合，且α1≠0，试证：向量组α1，α2，…，αm的秩为m．

admin2020-09-25  54
问题 设向量组α1，α2，…，αm中任一向量αi不是它前面i一1个向量的线性组合，且α1≠0，试证：向量组α1，α2，…，αm的秩为m．
选项
答案假设α1，α2，…，αm线性相关，则有不全为零的数k1，k2，…，km，使 k1α1+k2α2+…+kmαm=0． 我们断言km=0，否则有[*]即αm可由它前面的m一1个向量线性表示，矛盾．所以km=0．从而有k1α1+k2α2+…+km-1αm-1=0． 类似前面的证法我们可得km-1=0，…，k2=0．于是有k1α1=0． 但α1≠0，所以k1=0．而这与k1，k2，…，km不全为零矛盾．所以α1，α2，…，αm线性无关，从而可得其秩为m.
解析
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考研数学三

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