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设有齐次线性方程组 试问a为何值时,该方程组有非零解,并求其通解.
设有齐次线性方程组 试问a为何值时,该方程组有非零解,并求其通解.
admin
2019-07-19
57
问题
设有齐次线性方程组
试问a为何值时,该方程组有非零解,并求其通解.
选项
答案
设齐次方程组的系数矩阵为A,则 [*]a
n+1
那么,Ax=0有非零解 丨A丨=0 a=0或a=-1/2(n+1)n. 当a=0时,对系数矩阵A作初等变换,有 [*] 故方程组的同解方程组为x
1
+x
2
+…+x
n
=0,由此得基础解系为 η
1
=(-1,1,0,…,0)
T
, η
1
=(-1,0,1,…,0)
T
, …, η
n-1
=(-1,0,0,…,1)
T
. 于是方程组的通解为x=k
1
η
1
+…+k
n-1
η
n-1
,其中k
1
,k
21
,...,k
n-1
为任意常数. 当a=1/2(n+1)n时,对系数矩阵作初等行变换,有 [*] [*] 故方程组的同解方程组为[*] 由此得基础解系为η=(1,2,…,n)
T
, 于是方程组的通解为x=kη,其中k为任意常数.
解析
确定参数,使包含n个未知量和n个方程的齐次线性方程组有非零解,通常用两个方法:一是对其系数矩阵作初等行变换化成阶梯形;再就是由其系数行列式为零解出参数值.本题的关键是参数n有两个俯,对每个值都要讨论.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jNc4777K
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考研数学一
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