设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E-ABT．其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E—BAT一ABT+BBT

admin2018-11-11 85

问题设有两个非零矩阵A=[a₁，a₂，…，a_n]^T，B=[b₁，b₂，…，b_n]^T．
(1)计算AB^T与A^TB；
(2)求矩阵AB^T的秩r(AB^T)；
(3)设C=E-AB^T．其中E为n阶单位阵．证明：C^TC=E—BA^T一AB^T+BB^T的充要条件是A^TA=1．

选项

答案(1)[*]，A^TB=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n． (2)因AB^T各行(或列)是第1行(列)的倍数，又A，B皆为非零矩阵，故r(AB^T)=1. (3)由于C^TC=(E一AB^T)^T(E一AB^T)=(E一AB^T)(E一AB^T)=E—BA^T一AB^T+BA^TAB^T，故若要求C^TC=E-BA^T一AB^T+BB^T，则BA^TAB^T一BB^T=O，B(A^TA一1)B^T=O，即 (A^TA一1)BB^T=O．因为B≠O，所以BB^T≠O．故C^TC=E-BA^T一AB^T+BB^T的充要条件是A^TA=1．

解析

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考研数学二

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设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E-ABT．其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E—BAT一ABT+BBT

考研数学二

求幂级数的收敛域和和函数．

设则二次型的对应矩阵是__________．

设矩阵A=(α1,α2,α3,α4)，其中a2，a3,a4线性无关，a1=2a2一a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程Ax=b的通解．

设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有()

计算下列反常积分(广义积分)的值．

设函数f(x)满足f(1)=f’(1)=2．求极限.

求证：曲率半径为常数a的曲线是圆．

组织管理理论主要研究()。

对现有地基的陷穴、暗穴，可以采用()等措施。

在不同的经济景气阶段，应该选择不同的投资工具。在景气衰退阶段，(　　)。

Althoughrecentyearshaveseensubstantialreductionsinnoxiouspollutantsfromindividualmotorvehicles,thenumberofsuch

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设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E-ABT．其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E—BAT一ABT+BBT

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求幂级数的收敛域和和函数．

设则二次型的对应矩阵是__________．

设矩阵A=(α1,α2,α3,α4)，其中a2，a3,a4线性无关，a1=2a2一a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程Ax=b的通解．

设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有()

计算下列反常积分(广义积分)的值．

设函数f(x)满足f(1)=f’(1)=2．求极限.

求证：曲率半径为常数a的曲线是圆．

组织管理理论主要研究()。

对现有地基的陷穴、暗穴，可以采用()等措施。

在不同的经济景气阶段，应该选择不同的投资工具。在景气衰退阶段，( )。

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