设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E-ABT．其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E—BAT一ABT+BBT

admin2018-11-11 65

问题设有两个非零矩阵A=[a₁，a₂，…，a_n]^T，B=[b₁，b₂，…，b_n]^T．
(1)计算AB^T与A^TB；
(2)求矩阵AB^T的秩r(AB^T)；
(3)设C=E-AB^T．其中E为n阶单位阵．证明：C^TC=E—BA^T一AB^T+BB^T的充要条件是A^TA=1．

选项

答案(1)[*]，A^TB=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n． (2)因AB^T各行(或列)是第1行(列)的倍数，又A，B皆为非零矩阵，故r(AB^T)=1. (3)由于C^TC=(E一AB^T)^T(E一AB^T)=(E一AB^T)(E一AB^T)=E—BA^T一AB^T+BA^TAB^T，故若要求C^TC=E-BA^T一AB^T+BB^T，则BA^TAB^T一BB^T=O，B(A^TA一1)B^T=O，即 (A^TA一1)BB^T=O．因为B≠O，所以BB^T≠O．故C^TC=E-BA^T一AB^T+BB^T的充要条件是A^TA=1．

解析

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考研数学二

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设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E-ABT．其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E—BAT一ABT+BBT

考研数学二

设A为4×3矩阵，η1，η2,η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为()

设对于半空间x＞0内的任意光滑有向封闭曲面∑，都有xf(x)dydz一xyf(x)dzdx一e2xdxdy=0，其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续的一阶导数，且，求f(x)．

设级数的和函数为S(x)，求S(x)的表达式．

求幂级数的收敛域及和函数．

n元实二次型正定的充分必要条件是()

已知A是m×n矩阵，其m个行向量是齐次线性方程组Cx=0的基础解系，B是m阶可逆矩阵，证明：BA的行向量也是齐次方程组Cx=0的基础解系．

证明：已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1,α2,α3是相应的特征向量且线性无关，如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3．

设有向量组问α，β为何值时：向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯一；

设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置．证明：r(A)≤2．

设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且证明存在ξ∈(0，3)，使f’’(ξ)=0．

1)theOralApproach2)theCognitiveApproach3)theAudiolingualMethod4)theNatural

该患者目前最可能的诊断是为确定诊断，下一步应该采取的检查手段是

土地价值的计算公式为()。

下列各项属于社会工作服务计划中“关注的对象”的是()

提出全面和谐教育思想的教育家是()。

设，且α，β，γ两两正交，则a=_，b=_．

文件服务器应具有分时系统文件管理的全部功能，能够为网络用户提供完善的数据、文件和

ImprovingYourMotivationforLearningEnglishI.TheimportanceofthetechniquesforimprovingmotivationA.Necessityfor

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1)______theOralApproach2)______theCognitiveApproach3)______theAudiolingualMethod4)______theNatural

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