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设线性非齐次方程组Ax=(α1,α2,α3,α4)x=α5有通解k(一1,2,0,3)T+(2,一3,1,5)T. 求方程组(α2,α3,α4)x=α5的通解;
设线性非齐次方程组Ax=(α1,α2,α3,α4)x=α5有通解k(一1,2,0,3)T+(2,一3,1,5)T. 求方程组(α2,α3,α4)x=α5的通解;
admin
2016-03-05
70
问题
设线性非齐次方程组Ax=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)x=α
5
有通解k(一1,2,0,3)
T
+(2,一3,1,5)
T
.
求方程组(α
2
,α
3
,α
4
)x=α
5
的通解;
选项
答案
根据题意,非齐次线性方程组(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)x=α
5
,有通解k(一1,2,0,3)
T
+(2,一3,1,5)
T
,则有r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
5
)=3,又由对应齐次线性方程组的通解得一α
1
+2α
2
+3α
4
=0,即α
1
=2α
2
+3α
4
.若α
2
,α
3
,α
4
线性相关,则r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)<3,这和题设矛盾.故α
2
,α
3
,α
4
线性无关.由上述结论可知α
2
,α
3
,α
4
是α
1
,α
2
,α
3
,α
4
及α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
5
的极大线性无关组,即α
1
,α
5
均可由α
2
,α
3
,α
4
线性表示,那么有r(α
2
,α
3
,α
4
)=r(α
1
,α
3
,α
4
,α
5
)=3.方程组 (α
2
,α
3
,α
4
)x=α
5
(1)有唯一解.根据题意,α
5
可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示,且表示方法不唯一,k可取任意值,取k=2,使α
5
由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示时,不出现α
1
,则有α
5
=α
2
+α
3
+11α
4
.故方程组(1)的通解(唯一解)为x=(1,1,11)
T
解析
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考研数学二
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