设y=y(x)是由方程2y3-2y2+2xy-x2=1确定的，求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?

admin2021-11-09 57

问题设y=y(x)是由方程2y³-2y²+2xy-x²=1确定的，求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?

选项

答案(Ⅰ)先用隐函数求导法求出y’(x)．将方程两边对x求导得 6y²y’-4yy’+2xy’+2y-2x=0，整理得 [*] (Ⅱ)由y’(x)=0及原方程确定驻点．由y’(x)=0得y=x代入原方程得 2x³-2x²+2xx-x²=1，即x³-x²+x³-1=0，(x-1)(2x²+x+1)=0．仅有根x=1．当y=x=1时，3y²-2y+x≠0．因此求得驻点x=1． (Ⅲ)判定驻点是否是极值点．将①式化为(3y²-2y+x)y’=x-y． ② 将②式两边对x在x=1求导，注意y’(1)=0，y(1)=1，得 2y’’(1)=1，y"(1)=[*]＞0．故x=1是隐函数y(x)的极小值点．

解析

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