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设三阶矩阵A=,若A的伴随矩阵的秩等于1,则必有( )
设三阶矩阵A=,若A的伴随矩阵的秩等于1,则必有( )
admin
2021-01-25
44
问题
设三阶矩阵A=
,若A的伴随矩阵的秩等于1,则必有( )
选项
A、a=b或a+2b=0.
B、a=b或a+2b≠0.
C、a≠b且a+2b=0.
D、a≠b且a+2b≠0.
答案
C
解析
对于3阶方阵A,A的伴随矩阵A
*
的秩为
故有r(A
*
)=1
r(A)=2
|A|=0且A中至少有一个2阶子式不等于零.于是由
=(a+2b)(a-b)
2
=0.
得a+2b=0,或a=b.若a=b,则显然有r(A)≤1,与前述条件r(A)=2发生矛盾.故a≠b,且a+2b=0,此时,A的左上角的2阶子式为
=a
2
-b
2
=(-2b)
2
-b
2
=3b
2
≠0,
(否则b=0,
=-2b=0,
a=b,这与a≠b矛盾),所以r(A)=2.综上可知r(A
*
)=1
a≠b且a+2b=0,故只有C正确.
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考研数学三
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