设三阶矩阵A=，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有( )

admin2021-01-25 44

问题设三阶矩阵A=

，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有( )

选项 A、a=b或a+2b=0．
B、a=b或a+2b≠0．
C、a≠b且a+2b=0．
D、a≠b且a+2b≠0．

答案C

解析对于3阶方阵A，A的伴随矩阵A^*的秩为

故有r(A^*)=1

r(A)=2

|A|=0且A中至少有一个2阶子式不等于零．于是由

=(a+2b)(a－b)²=0．
得a+2b=0，或a=b．若a=b，则显然有r(A)≤1，与前述条件r(A)=2发生矛盾．故a≠b，且a+2b=0，此时，A的左上角的2阶子式为

=a²－b²=(－2b)²－b²=3b²≠0，
(否则b=0，

=－2b=0，

a=b，这与a≠b矛盾)，所以r(A)=2．综上可知r(A^*)=1

a≠b且a+2b=0，故只有C正确．

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