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(1989年分)设f(χ)=sinχ-∫0χ(χ-t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(χ).
(1989年分)设f(χ)=sinχ-∫0χ(χ-t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(χ).
admin
2016-05-30
68
问题
(1989年分)设f(χ)=sinχ-∫
0
χ
(χ-t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(χ).
选项
答案
原方程可改写为 f(χ)=sinχ-χ∫
0
χ
f(t)dt+∫
0
χ
tf(t)dt 上式两端对χ求导得 f′(χ)=cosχ=∫
0
χ
f(t)dt-χf(χ)+χ(f)χ=cosχ-∫
0
χ
f(t)dt (*) 两端再对χ求导得f〞(χ)=-sinχ-f(χ) 即f(χ)+f(χ)=-sinχ 这是一个二阶线性非齐次方程,由原方程知f(0)=0,由(*)式知f′(0)=1. 特征方程为r-1=0,r=±i 齐次通解为[*]=C
1
sinχ+C
2
cosχ 设非齐次方程特解为y
*
=χ(asinχ+bcosχ),代入 f〞(χ)+f(χ)=-sinχ得 a=0,b=[*] 则非齐次方程的通解为 y=C
1
sinχ+C
2
cosχ+[*]cosχ 由初始条件y(0)=0和y′(0)=1可知 C
1
=[*],C
2
=0
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jot4777K
0
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