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  3. (1989年分)设f(χ)＝sinχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(χ)．

(1989年分)设f(χ)＝sinχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(χ)．

admin2016-05-30  67
问题 (1989年分)设f(χ)＝sinχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(χ)．
选项
答案原方程可改写为 f(χ)＝sinχ－χ∫0χf(t)dt＋∫0χtf(t)dt 上式两端对χ求导得 f′(χ)＝cosχ＝∫0χf(t)dt－χf(χ)＋χ(f)χ＝cosχ－∫0χf(t)dt (*) 两端再对χ求导得f〞(χ)＝－sinχ－f(χ) 即f(χ)＋f(χ)＝－sinχ 这是一个二阶线性非齐次方程，由原方程知f(0)＝0，由(*)式知f′(0)＝1． 特征方程为r－1＝0，r＝±i 齐次通解为[*]＝C1sinχ＋C2cosχ 设非齐次方程特解为y*＝χ(asinχ＋bcosχ)，代入 f〞(χ)＋f(χ)＝－sinχ得 a＝0，b＝[*] 则非齐次方程的通解为 y＝C1sinχ＋C2cosχ＋[*]cosχ 由初始条件y(0)＝0和y′(0)＝1可知 C1＝[*]，C2＝0
解析
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考研数学二

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