(1989年分)设f(χ)＝sinχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(χ)．

admin2016-05-30 65

问题 (1989年分)设f(χ)＝sinχ－∫₀^χ(χ－t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(χ)．

选项

答案原方程可改写为 f(χ)＝sinχ－χ∫₀^χf(t)dt＋∫₀^χtf(t)dt 上式两端对χ求导得 f′(χ)＝cosχ＝∫₀^χf(t)dt－χf(χ)＋χ(f)χ＝cosχ－∫₀^χf(t)dt (*) 两端再对χ求导得f〞(χ)＝－sinχ－f(χ) 即f(χ)＋f(χ)＝－sinχ 这是一个二阶线性非齐次方程，由原方程知f(0)＝0，由(*)式知f′(0)＝1．特征方程为r－1＝0，r＝±i 齐次通解为[*]＝C₁sinχ＋C₂cosχ 设非齐次方程特解为y^*＝χ(asinχ＋bcosχ)，代入 f〞(χ)＋f(χ)＝－sinχ得 a＝0，b＝[*] 则非齐次方程的通解为 y＝C₁sinχ＋C₂cosχ＋[*]cosχ 由初始条件y(0)＝0和y′(0)＝1可知 C₁＝[*]，C₂＝0

解析

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考研数学二

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