设A是n阶非零矩阵，Am=0，下列命题中不一定正确的是

admin2020-03-01 14

问题设A是n阶非零矩阵，A^m=0，下列命题中不一定正确的是

选项 A、A的特征值只有零．
B、A必不能对角化．
C、E+A+A²+…+A^m-1必可逆．
D、A只有一个线性无关的特征向量．

答案D

解析设Aα=λα，α≠0，则A^mα=λ^mα=0．故λ=0．(A)正确．
因为A≠0，r(A)≥1，那么Ax=0的基础解系有n-r(A)个解，即λ=0有n-r(A)个线性无关的特征向量．故(B)正确，而(D)不一定正确．
由(E-A)(E+A+A²+…+A^m-1)=E-A^m=E，知(C)正确．
故应选(D)．

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