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设A为m×n矩阵,B为n×p矩阵,证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A┆B).
设A为m×n矩阵,B为n×p矩阵,证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A┆B).
admin
2017-07-26
36
问题
设A为m×n矩阵,B为n×p矩阵,证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A┆B).
选项
答案
设矩阵A,X和B按列分块为 A=[α
1
,α
2
,…,α
n
], X=[x
1
,x
2
,…,x
p
], B=[β
1
,β
2
,…,β
p
], 则AX=A[x
1
,x
2
,…,x
p
]=[Ax
1
,Ax
2
,…,Ax
p
],故AX=B可以写成 AX
j
=β
j
(j=1,2,…,p), 所以,矩阵方程AX=B有解 →线性方程组AX
j
=β有解(j=1,2,…,p) →向量β
j
可由A的列向量组α
1
,α
2
,…,α
n
线性表出 →向量组α
1
,α
2
,…,α
n
与向量组α
1
,α
2
,…,α
n
,β
1
,β
2
,…,β
p
等价 →r(α
1
,α
2
,…,α
n
)=r(α
1
,α
2
,…,α
n
,β
1
,β
2
,…,β
p
) →r(A)=r(A┆B).
解析
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考研数学三
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