2. 考研
  3. 设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A┆B)．

设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A┆B)．

admin2017-07-26  18
问题 设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A┆B)．
选项
答案设矩阵A，X和B按列分块为 A=[α1，α2，…，αn]， X=[x1，x2，…，xp]， B=[β1，β2，…，βp]， 则AX=A[x1，x2，…，xp]=[Ax1，Ax2，…，Axp]，故AX=B可以写成 AXj=βj (j=1，2，…，p)， 所以，矩阵方程AX=B有解 →线性方程组AXj=β有解(j=1，2，…，p) →向量βj可由A的列向量组α1，α2，…，αn线性表出 →向量组α1，α2，…，αn与向量组α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βp等价 →r(α1，α2，…，αn)=r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βp) →r(A)=r(A┆B)．
解析
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考研数学三

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