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设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A┆B)．
设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A┆B)．
admin
2017-07-26
32
问题
设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A┆B)．
选项
答案
设矩阵A，X和B按列分块为 A=[α
1
，α
2
，…，α
n
]， X=[x
1
，x
2
，…，x
p
]， B=[β
1
，β
2
，…，β
p
]， 则AX=A[x
1
，x
2
，…，x
p
]=[Ax
1
，Ax
2
，…，Ax
p
]，故AX=B可以写成 AX
j
=β
j
(j=1，2，…，p)， 所以，矩阵方程AX=B有解 →线性方程组AX
j
=β有解(j=1，2，…，p) →向量β
j
可由A的列向量组α
1
，α
2
，…，α
n
线性表出 →向量组α
1
，α
2
，…，α
n
与向量组α
1
，α
2
，…，α
n
，β
1
，β
2
，…，β
p
等价 →r(α
1
，α
2
，…，α
n
)=r(α
1
，α
2
，…，α
n
，β
1
，β
2
，…，β
p
) →r(A)=r(A┆B)．
解析
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考研数学三
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