设f(x)连续，且F(x)＝∫0x(x－2t)f(t)dt．证明： (1)若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数； (2)若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

admin2019-01-05 33

问题设f(x)连续，且F(x)＝∫₀^x(x－2t)f(t)dt．证明：
(1)若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数；
(2)若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

选项

答案(1)设f(－x)＝f(x)，因为F(－x)＝∫₀^－x (－x－2t)f(t)dt[*]∫₀^x(－x＋2u)f(－x)(－du) ＝∫₀^x(x－2u)f(u)du＝F(x)，所以F(x)为偶函数． F(x)＝∫₀^－x (x－2t)f(t)dt＝∫₀^xf(t)dt－2∫₀^xtf(t)dt, F’(x)＝∫₀^xf(t)－xf(t)＝x[f(ξ)－f(x)]，其中ξ介于0与x之间，当x＜0时，x≤ξ≤0，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0，当x≥0时，0≤ξ≤x，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0，从而F(x)单调不减．

解析

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考研数学三

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