设f(x)连续，且F(x)＝∫0x(x－2t)f(t)dt．证明： (1)若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数； (2)若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

admin2019-01-05 61

问题设f(x)连续，且F(x)＝∫₀^x(x－2t)f(t)dt．证明：
(1)若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数；
(2)若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

选项

答案(1)设f(－x)＝f(x)，因为F(－x)＝∫₀^－x (－x－2t)f(t)dt[*]∫₀^x(－x＋2u)f(－x)(－du) ＝∫₀^x(x－2u)f(u)du＝F(x)，所以F(x)为偶函数． F(x)＝∫₀^－x (x－2t)f(t)dt＝∫₀^xf(t)dt－2∫₀^xtf(t)dt, F’(x)＝∫₀^xf(t)－xf(t)＝x[f(ξ)－f(x)]，其中ξ介于0与x之间，当x＜0时，x≤ξ≤0，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0，当x≥0时，0≤ξ≤x，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0，从而F(x)单调不减．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jrW4777K

考研数学三

相关试题推荐

设f(x)在(一1，1)内二阶连续可导，且f"(x)≠0．证明：
现有三个箱子，第一个箱子有4个红球，3个白球；第二个箱子有3个红球，3个白球；第三个箱子有3个红球，5个白球；先取一只箱子，再从中取一只球．(1)求取到白球的概率；(2)若取到红球，求红球是从第二个箱子中取出的概率．
设随机变量X1～N(0，1)，X2～B(1，1/2)，X3服从于参数为λ=1的指数分布．设则矩阵A一定是()．
设f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0．试证明：至少存在一点η∈[0，1]，使f’(η)=2∫01f(x)dx．
求微分方程y"一3y’一4y=(10x一7)e一x+34sinx的通解．
已知某商品的需求量Q对价格的弹性为pln3，假设该商品的最大需求量为1200，则需求量Q关于价格p的函数关系是()．
设方程x2=y2y确定y是x的函数，则dy=________．
已知某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解为y=C1ex+C2e一x一则此微分方程为________．
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r（B）=n。
已知在10件产品中有2件次品，在其中任取两次，做不放回抽样。求下列事件的概率：（Ⅰ）两件都是正品；（Ⅱ）两件都是次品；（Ⅲ）一件是正品，一件是次品；（Ⅳ）第二次取出的是次品。

随机试题

下列属于主物和从物关系的是()
患者，女，45岁，近2年来反复出现多发口腔溃疡，两个月前劳累后出现左膝关节肿痛，双下肢皮肤结节红斑伴疼痛，一周前突发右眼视物不清，化验ESR增快，ANA阴性，最可能的诊断是
应用最多的立柱式X线管支架是
深立井井筒施工时，为了增大通风系统的风压，提高通风效果，合理的通风方式是()。
下列不属于企业投资性房地产的是()。
具有发行的银行、政府的银行、银行的银行三大职能的银行是()。
设A．B是n阶矩阵，E—AB可逆，证明E—BA可逆．
不同AS之间使用的路由协议是()。
SaveEnergyatHomeOntheaverage,Americanswasteasmuchenergyastwo-thirdsoftheworld’spopulationconsumes.That’s(1)
Whatwillthemanmostprobablydo?

最新回复(0)

设f(x)连续，且F(x)＝∫0x(x－2t)f(t)dt．证明： (1)若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数； (2)若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

考研数学三

设f(x)在(一1，1)内二阶连续可导，且f"(x)≠0．证明：

设随机变量X1～N(0，1)，X2～B(1，1/2)，X3服从于参数为λ=1的指数分布．设则矩阵A一定是()．

设f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0．试证明：至少存在一点η∈[0，1]，使f’(η)=2∫01f(x)dx．

求微分方程y"一3y’一4y=(10x一7)e一x+34sinx的通解．

已知某商品的需求量Q对价格的弹性为pln3，假设该商品的最大需求量为1200，则需求量Q关于价格p的函数关系是()．

设方程x2=y2y确定y是x的函数，则dy=________．

已知某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解为y=C1ex+C2e一x一则此微分方程为________．

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r（B）=n。

已知在10件产品中有2件次品，在其中任取两次，做不放回抽样。求下列事件的概率：（Ⅰ）两件都是正品；（Ⅱ）两件都是次品；（Ⅲ）一件是正品，一件是次品；（Ⅳ）第二次取出的是次品。

下列属于主物和从物关系的是()

患者，女，45岁，近2年来反复出现多发口腔溃疡，两个月前劳累后出现左膝关节肿痛，双下肢皮肤结节红斑伴疼痛，一周前突发右眼视物不清，化验ESR增快，ANA阴性，最可能的诊断是

应用最多的立柱式X线管支架是

深立井井筒施工时，为了增大通风系统的风压，提高通风效果，合理的通风方式是()。

下列不属于企业投资性房地产的是()。

具有发行的银行、政府的银行、银行的银行三大职能的银行是()。

设A．B是n阶矩阵，E—AB可逆，证明E—BA可逆．

不同AS之间使用的路由协议是()。

SaveEnergyatHomeOntheaverage,Americanswasteasmuchenergyastwo-thirdsoftheworld’spopulationconsumes.That’s(1)

Whatwillthemanmostprobablydo?