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  3. 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度 令Z=max{X，Y}，求： (1)Z的分布函数； (2)在X＞x(x＞0)的条件下，求P{Z≤z|X＞x}．

设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度 令Z=max{X，Y}，求： (1)Z的分布函数； (2)在X＞x(x＞0)的条件下，求P{Z≤z|X＞x}．

admin2018-09-20  58
问题 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度

令Z=max{X，Y}，求：
    (1)Z的分布函数；
    (2)在X＞x(x＞0)的条件下，求P{Z≤z|X＞x}．
选项
答案(1)[*]当x＞0，y＞0时， fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy=∫0+∞6e-2x-3ydy=2e-2x,fY(y)=∫-∞+∞f(x，y)dx=∫0+∞6e2x-3ydx=3e-3y， [*] 由此可见，X，Y相互独立，且分别服从参数为2和3的指数分布． X，Y的分布函数分别为： [*] 因为Z=max{X，Y}，显然，当z＜0时，FZ(z)=0， 当z≥0时， FZ(z)=P{max{X，Y}≤z}=P{X≤z，Y≤z}=FX(z)FY(z)=(1一e-2z)(1一e-3z)， 所以 [*] (2)由Z=max{X，Y}易知，当z≤x时，P{Z≤z|X＞z}=0． 当z＞x时， P{X＞x，Z≤z}=P{x＜X≤z，Y≤z}=P{x＜X≤z)P{Y≤z} =(e-2x一e-2z)(1一e-3z)， 从而P{Z≤z|X＞x}=[*]=[1一e-2(z-x)](1一e-3z)．
解析
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考研数学三

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