设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度 令Z=max{X,Y},求: (1)Z的分布函数; (2)在X>x(x>0)的条件下,求P{Z≤z|X>x}.

admin2018-09-20  25

问题 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度

令Z=max{X,Y},求:
    (1)Z的分布函数;
    (2)在X>x(x>0)的条件下,求P{Z≤z|X>x}.

选项

答案(1)[*]当x>0,y>0时, fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=∫0+∞6e-2x-3ydy=2e-2x,fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=∫0+∞6e2x-3ydx=3e-3y, [*] 由此可见,X,Y相互独立,且分别服从参数为2和3的指数分布. X,Y的分布函数分别为: [*] 因为Z=max{X,Y},显然,当z<0时,FZ(z)=0, 当z≥0时, FZ(z)=P{max{X,Y}≤z}=P{X≤z,Y≤z}=FX(z)FY(z)=(1一e-2z)(1一e-3z), 所以 [*] (2)由Z=max{X,Y}易知,当z≤x时,P{Z≤z|X>z}=0. 当z>x时, P{X>x,Z≤z}=P{x<X≤z,Y≤z}=P{x<X≤z)P{Y≤z} =(e-2x一e-2z)(1一e-3z), 从而P{Z≤z|X>x}=[*]=[1一e-2(z-x)](1一e-3z).

解析
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