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  3. [2007年]设曲线L：f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)过第二象限内的点M和第四象限内的点N，Γ为L上从点M到N的一段弧，则下列积分小于零的是( )．

[2007年]设曲线L：f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)过第二象限内的点M和第四象限内的点N，Γ为L上从点M到N的一段弧，则下列积分小于零的是( )．

admin2021-01-15  6
问题 [2007年]设曲线L：f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)过第二象限内的点M和第四象限内的点N，Γ为L上从点M到N的一段弧，则下列积分小于零的是(    )．
选项 A、∫Γf(x，y)dx
B、∫Γf(x，y)dy
C、∫Γf(x，y)ds
D、∫Γf’x(x，y)dx+f’y(x，y)dy
答案B
解析 仅B入选．直接计算求出四个积分值，从而确定正确选项．设点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由题设知，x1＜x2，y1＞y2(见图)．先将曲线方程代入积分表达式，经计算得到

∫Γf(x，y)dx=∫Γdx=x1一x2＞0，
∫Γf(x，y)dy=∫Γdy=y2一y1＜0，
∫Γf(x，y)ds=∫Γds=s＞0，
∫Γf’x(x，y)dx+f’y(x，y)dy=∫Γdf(x，y)=0.
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