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设A是m×n矩阵,B是n×l矩阵,证明:方程组ABX=0和BX=0是同解方程组的充要条件是r(AB)=r(B).
设A是m×n矩阵,B是n×l矩阵,证明:方程组ABX=0和BX=0是同解方程组的充要条件是r(AB)=r(B).
admin
2017-07-26
81
问题
设A是m×n矩阵,B是n×l矩阵,证明:方程组ABX=0和BX=0是同解方程组的充要条件是r(AB)=r(B).
选项
答案
必要性.ABX=0和BX=0是同解方程组→ABX=0和BX=0有相同的基础解系→ABX=0和BX=0的基础解系的向量个数相同,即 l—r(B)=l—r(AB),故r(AB)=r(B). 充分性.r(AB)=r(B)→ABX=0和BX=0的基础解系的向量个数相同,又因为BX=0的解均是(AB)X=A(BX)=0的解,故BX=0的基础解系也是ABX=0的基础解系,故BX=0和ABX=0有相同的基础解系,ABX=0和BX=0是同解方程组.
解析
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考研数学三
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