2. 考研
  3. 证明：x一[102*]＞0)．

证明：x一[102*]＞0)．

admin2018-06-14  57
问题 证明：x一[102*]＞0)．
选项
答案首先证明：当x＞0时ln(1+x)＜x → ln(1+x)一x＜0． 引入函数f(x)=ln(1+x)一x，f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0，f’(x)=[*]x＞0)．从而f(x)在[0，+∞)上单调减少，[*]x＞0必有f(x)＜f(0)=0，即当x＞0时ln(1+x)＜x成立． 其次证明：当x＞0时x一[*]x2＜ln(1+x) → ln(1+x)一x+[*]＞0．引入函数g(x)=ln(1+x)一x+[*]，g(x)在[0，+∞)上可导，且g(0)=0，g’(x)=[*]x＞0)．从而g(x)在[0，+∞)上单调增加，[*]x＞0必有g(x)＞g(0)=0．即当x＞0时x一[*]x1＜ln(1+x)成立． 综合即得[*]＜ln(1+x)＜x．
解析
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考研数学三

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