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设A是m×s阶矩阵,B为s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明:方程组BX=0与ABX=0是同解方程组。
设A是m×s阶矩阵,B为s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明:方程组BX=0与ABX=0是同解方程组。
admin
2019-09-29
75
问题
设A是m×s阶矩阵,B为s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明:方程组BX=0与ABX=0是同解方程组。
选项
答案
首先,方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解,令r(B)=r,且ζ
1
,ζ
2
,...,ζ
n-r
是方程组BX=0的基础解系,现设方程组ABX=0有一个解η
0
不是方程组BX=0的解,即Bη
0
≠0,显然ζ
1
,ζ
2
,...,ζ
n-r
,η
0
线性无关,若ζ
1
,ζ
2
,...,ζ
n-r
,η
0
线性相关,则存在不全为零的常数k
1
,k
2
,...,k
n-r
,k
0
,使得k
1
ζ
1
+k
2
ζ
2
+...+k
n-r
ζ
n-r
=0,因为ζ
1
,ζ
2
,...,ζ
n-r
线性无关,所以k
1
=k
2
=...=k
n-r
1,ζ
2
,...,ζ
n-r
,η
0
线性无关,所以k
0
≠0,故η
0
可由ζ
1
,ζ
2
,...,ζ
n-r
线性表示,由齐次线性方程组解的结构,有Bη
0
=0,矛盾,所以ζ
1
,ζ
2
,...,ζ
n-r
,η
0
线性无关且为方程组ABX=0的解,从而n-r(AB)≥n-r+1,r(AB)≤r-1,这与r(B)=r(AB)矛盾,故方程组BX=0与ABX=0同解。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kGA4777K
0
考研数学二
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