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  3. 设A是m×s阶矩阵，B为s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB).证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组。

设A是m×s阶矩阵，B为s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB).证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组。

admin2019-09-29  37
问题 设A是m×s阶矩阵，B为s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB).证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组。
选项
答案首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解，令r(B)=r,且ζ1,ζ2,...,ζn-r是方程组BX=0的基础解系，现设方程组ABX=0有一个解η0不是方程组BX=0的解，即Bη0≠0，显然ζ1,ζ2,...,ζn-r，η0线性无关，若ζ1,ζ2,...,ζn-r，η0线性相关，则存在不全为零的常数k1,k2,...,kn-r，k0，使得k1ζ1+k2ζ2+...+kn-rζn-r=0,因为ζ1,ζ2,...,ζn-r线性无关，所以k1=k2=...=kn-r1,ζ2,...,ζn-r，η0线性无关，所以k0≠0，故η0可由ζ1,ζ2,...,ζn-r线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη0=0，矛盾，所以ζ1,ζ2,...,ζn-r，η0线性无关且为方程组ABX=0的解，从而n-r(AB)≥n-r+1,r(AB)≤r-1,这与r(B)=r(AB)矛盾，故方程组BX=0与ABX=0同解。
解析
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考研数学二

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