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  3. 设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程。

设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程。

admin2021-11-15  10
问题 设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程。
选项
答案因曲线上凸，故有y"＜0。由曲率计算公式，得 [*] 即y"=一(1+y’2)，这是不显含x也不显含y的可降价方程。令p=y’，则y"=p’，上述微分方程可化为 p’=一(1+p2)， 解此可分离变量的微分方程可得arctanp=C1一x，即arctany’=C1一x。 由曲线过点(0，1)，且在该点切线方程为y=x+1，可得初始条件y(0)=1，y’(0)=1。故由y’(0)=1，得C1=[*]，因此 arctany’=[*]一x， 即y’=tan([*]一x)，等式两端积分可得y=ln｜cos([*]一x)｜+C2。 由y(0)=1，得C2=1+[*]ln2。因此所求曲线方程为 y=ln[*]ln2。
解析
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考研数学一

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