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设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程。
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程。
admin
2021-11-15
12
问题
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为
,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程。
选项
答案
因曲线上凸,故有y"<0。由曲率计算公式,得 [*] 即y"=一(1+y’
2
),这是不显含x也不显含y的可降价方程。令p=y’,则y"=p’,上述微分方程可化为 p’=一(1+p
2
), 解此可分离变量的微分方程可得arctanp=C
1
一x,即arctany’=C
1
一x。 由曲线过点(0,1),且在该点切线方程为y=x+1,可得初始条件y(0)=1,y’(0)=1。故由y’(0)=1,得C
1
=[*],因此 arctany’=[*]一x, 即y’=tan([*]一x),等式两端积分可得y=ln|cos([*]一x)|+C
2
。 由y(0)=1,得C
2
=1+[*]ln2。因此所求曲线方程为 y=ln[*]ln2。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kJl4777K
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考研数学一
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