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已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=xyf"xy(x,y)dxdy.
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=xyf"xy(x,y)dxdy.
admin
2016-01-15
42
问题
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,
(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=
xyf"
xy
(x,y)dxdy.
选项
答案
[*] 首先考虑∫
0
1
xff"
xy
(x,y)dx,注意这里是把变量y看做常数的,故有 ∫
0
1
xyf"
xy
(x,y)dx=y∫
0
1
xdf’
y
(x,y) =xyf’
y
(x,y)|
0
1
一∫
0
1
yf’
y
(x,y)dx =yf’
y
(1,y)一∫
0
1
yf’
y
(x,y)dx. 由f(1,y)=f(x,1)=0易知f’(1,y)=f’(x,1)=0.故 xyf"
xy
(x,y)dx=一yf’
y
(x,y)dx. 所以 [*]xyf"
xy
(x,y)dxdy=dyxyf"
xy
(x,y)dx=一dyyf’
y
(x,y)dx, 对该积分交换积分次序可得 一∫
0
1
dy∫
0
1
yf’
y
(x,y)dx=一∫
0
1
dx∫
0
1
yf’
y
(x,y)dy. 再考虑积分∫
0
1
yf’
y
(x,y)dy,注意这里是把变量戈看做常数的,故有 ∫
0
1
yf’
y
(x,y)dy=∫
0
1
ydf(x,y) =yf(x,y)|
0
1
一∫
0
1
f(x,y)dy =一∫
0
1
f(x,y)dy, 因此 [*]xyf"
xy
(x,y)dxdy=—∫
0
1
dx∫
0
1
yf’
y
(x,y)dy =∫
0
1
dx∫
0
1
f(x,y)dy =[*]f(x,y)dxdy=a.
解析
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考研数学一
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