2. 考研
  3. 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyf"xy(x，y)dxdy．

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyf"xy(x，y)dxdy．

admin2016-01-15  27
问题 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyf"xy(x，y)dxdy．
选项
答案[*] 首先考虑∫01xff"xy(x，y)dx，注意这里是把变量y看做常数的，故有 ∫01xyf"xy(x，y)dx=y∫01xdf’y(x，y) =xyf’y(x,y)｜01一∫01yf’y(x,y)dx =yf’y(1，y)一∫01yf’y(x，y)dx． 由f(1，y)=f(x，1)=0易知f’(1，y)=f’(x，1)=0．故 xyf"xy(x,y)dx=一yf’y(x，y)dx． 所以 [*]xyf"xy(x，y)dxdy=dyxyf"xy(x，y)dx=一dyyf’y(x，y)dx， 对该积分交换积分次序可得 一∫01dy∫01yf’y(x,y)dx=一∫01dx∫01yf’y(x，y)dy． 再考虑积分∫01yf’y(x，y)dy，注意这里是把变量戈看做常数的，故有 ∫01yf’y(x，y)dy=∫01ydf(x,y) =yf(x,y)｜01一∫01f(x，y)dy =一∫01f(x，y)dy， 因此 [*]xyf"xy(x,y)dxdy=—∫01dx∫01yf’y(x,y)dy =∫01dx∫01f(x,y)dy =[*]f(x,y)dxdy=a．
解析
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考研数学一

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