已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=xyf"xy(x,y)dxdy.

admin2016-01-15  26

问题 已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=xyf"xy(x,y)dxdy.

选项

答案[*] 首先考虑∫01xff"xy(x,y)dx,注意这里是把变量y看做常数的,故有 ∫01xyf"xy(x,y)dx=y∫01xdf’y(x,y) =xyf’y(x,y)|01一∫01yf’y(x,y)dx =yf’y(1,y)一∫01yf’y(x,y)dx. 由f(1,y)=f(x,1)=0易知f’(1,y)=f’(x,1)=0.故 xyf"xy(x,y)dx=一yf’y(x,y)dx. 所以 [*]xyf"xy(x,y)dxdy=dyxyf"xy(x,y)dx=一dyyf’y(x,y)dx, 对该积分交换积分次序可得 一∫01dy∫01yf’y(x,y)dx=一∫01dx∫01yf’y(x,y)dy. 再考虑积分∫01yf’y(x,y)dy,注意这里是把变量戈看做常数的,故有 ∫01yf’y(x,y)dy=∫01ydf(x,y) =yf(x,y)|01一∫01f(x,y)dy =一∫01f(x,y)dy, 因此 [*]xyf"xy(x,y)dxdy=—∫01dx∫01yf’y(x,y)dy =∫01dx∫01f(x,y)dy =[*]f(x,y)dxdy=a.

解析
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