设曲面S为旋转抛物面z=x2+y2被平面z=1所截下的部分，求曲面S在平面xOy和平面yOz上的投影区域．

admin2022-07-21 84

问题设曲面S为旋转抛物面z=x²+y²被平面z=1所截下的部分，求曲面S在平面xOy和平面yOz上的投影区域．

选项

答案曲面S关于xOy坐标面为单层投影曲面，其中它的边界曲线为[*]．于是，该边界曲线L在xOy平面上的投影柱面是x²+y²=1，投影曲线l是[*]．所以曲面S在xOy面的投影区域为D={(x，y，z)｜x²+y²≤1，z=0}．曲面S关于yOz坐标面为非单层投影曲面，其中它的边界曲线为[*]．曲面S关于yOz坐标面的投影柱面是z=y²，0≤z≤1与z=1，-1≤y≤1两块柱面构成，投影曲线l是两段平面曲线 [*] 该投影柱面把曲面S分成两个单层投影曲面 [*] 由对称性知曲面S₁和S₂在yOz坐标面的投影区域相同，投影区域都为l₁和l₂所围成的平面区域．

解析

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考研数学二

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设曲面S为旋转抛物面z=x2+y2被平面z=1所截下的部分，求曲面S在平面xOy和平面yOz上的投影区域．

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[*]x2sinx是奇函数，故在上的定积分值为0．原积分

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设f可微，则由方程f(cx一az，cy一bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足az’x+bz’y=___________．

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