设n阶实对称矩阵A的秩为r,且满足A2=A(A称为幂等阵). 求:(1)二次型XTAX的标准形; (2)|E+A+A2+…+An|的值.

admin2019-08-23  25

问题 设n阶实对称矩阵A的秩为r,且满足A2=A(A称为幂等阵).
    求:(1)二次型XTAX的标准形;  (2)|E+A+A2+…+An|的值.

选项

答案(1)因为A2=A,所以|A||E—A|=0,即A的特征值为0或者1, 因为A为实对称矩阵,所以A可对角化,由r(A)=r得A的特征值为λ=1(r重),λ=0 (n一r重),则二次型XTAX的标准形为y12+y22+…+yr2. (2)令B=E+A+A2+…+An,则B的特征值为λ=n+1(r重),λ=1(n一r重),故 |E+A+A2+…+An|=|B|=(n+1)r

解析
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