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  3. 已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

admin2018-12-29  28
问题 已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且

求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。
选项
答案二次型xTAx的秩为2，即r(A)=2，所以λ=0是A的特征值。 [*] 所以3是A的特征值，(1，2，1)T是与3对应的特征向量；—1也是A的特征值，(1，—1，1)T是与—1对应的特征向量。 因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是(x1，x2，x3)T，则有 (x1，x2，x3)[*]=0，(x1，x2，x3)[*]=0， 由方程组[*]解出λ=0的特征向量是(1，0，—1)T。 [*] 因此 xTAx=[*](x12+10x22+x32+16x1x2+2x1x3+16x2x2)， 令 [*] 则经正交变换x=Qy，有xTAx=yTΛy=3y12—y32。
解析
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考研数学一

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