2. 考研
  3. 生产某种产品需要投甲、乙两种原料，x1和x2(单位：吨)分别是它们各自的投入量，则该产品的产出量为Q=2xαxβ(单位：吨)，其中常数α＞0，β＞0且α+β=1．如果两种原料的价格分别为p1与p2(单位：万元／吨)．试问，当投入两种原料的总费用为P(单位：

生产某种产品需要投甲、乙两种原料，x1和x2(单位：吨)分别是它们各自的投入量，则该产品的产出量为Q=2xαxβ(单位：吨)，其中常数α＞0，β＞0且α+β=1．如果两种原料的价格分别为p1与p2(单位：万元／吨)．试问，当投入两种原料的总费用为P(单位：

admin2018-06-14  79
问题 生产某种产品需要投甲、乙两种原料，x1和x2(单位：吨)分别是它们各自的投入量，则该产品的产出量为Q=2xαxβ(单位：吨)，其中常数α＞0，β＞0且α+β=1．如果两种原料的价格分别为p1与p2(单位：万元／吨)．试问，当投入两种原料的总费用为P(单位：万元)时，两种原料各投入多少可使该产品的产出量最大?
选项
答案由题设知应求函数Q=2x1αx2β在条件p1x1+p2x2=P之下的最大值点．用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数 F(x1，x2，λ)=2x1αx2β+λ(p1x1+p2x2一P)， 为求F(x1，x2，λ)的驻点，解方程组 [*] 因驻点唯一，且实际问题必有最大产出量，故计算结果表明，在两种原料投入的总费用为P(万元)时，这两种原料的投入量分别为x1=[*](吨)时可使该产品的产出量最大．
解析
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考研数学三

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