生产某种产品需要投甲、乙两种原料,x1和x2(单位:吨)分别是它们各自的投入量,则该产品的产出量为Q=2xαxβ(单位:吨),其中常数α>0,β>0且α+β=1.如果两种原料的价格分别为p1与p2(单位:万元/吨).试问,当投入两种原料的总费用为P(单位:

admin2018-06-14  43

问题 生产某种产品需要投甲、乙两种原料,x1和x2(单位:吨)分别是它们各自的投入量,则该产品的产出量为Q=2xαxβ(单位:吨),其中常数α>0,β>0且α+β=1.如果两种原料的价格分别为p1与p2(单位:万元/吨).试问,当投入两种原料的总费用为P(单位:万元)时,两种原料各投入多少可使该产品的产出量最大?

选项

答案由题设知应求函数Q=2x1αx2β在条件p1x1+p2x2=P之下的最大值点.用拉格朗日乘数法,构造拉格朗日函数 F(x1,x2,λ)=2x1αx2β+λ(p1x1+p2x2一P), 为求F(x1,x2,λ)的驻点,解方程组 [*] 因驻点唯一,且实际问题必有最大产出量,故计算结果表明,在两种原料投入的总费用为P(万元)时,这两种原料的投入量分别为x1=[*](吨)时可使该产品的产出量最大.

解析
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