2. 考研
  3. 设函数y＝y(x)在[0，＋∞)上有连续导数，且y(0)＝1，y’(x)≥0，y＝y(x)与y＝0，x＝0，x＝t(t＞0)所围图形为D，D绕x轴旋转一周所得旋转体的侧面积为S(t)，体积为V(t)，且S(t)＝2V(t) 求y＝y(x)；

设函数y＝y(x)在[0，＋∞)上有连续导数，且y(0)＝1，y’(x)≥0，y＝y(x)与y＝0，x＝0，x＝t(t＞0)所围图形为D，D绕x轴旋转一周所得旋转体的侧面积为S(t)，体积为V(t)，且S(t)＝2V(t) 求y＝y(x)；

admin2022-06-09  95
问题 设函数y＝y(x)在[0，＋∞)上有连续导数，且y(0)＝1，y’(x)≥0，y＝y(x)与y＝0，x＝0，x＝t(t＞0)所围图形为D，D绕x轴旋转一周所得旋转体的侧面积为S(t)，体积为V(t)，且S(t)＝2V(t)
求y＝y(x)；
选项
答案由已知，S(t)＝2V(t)，有 2π∫0ty[*]dx＝2·π∫0ty2dx 两边同时关于t求导，得[*]＝y，即 y’(t)＝[*] 为可分离变量方程 [*]＝dt 积分，得 ln(y＋[*])＝t＋C 由y(0)＝1，得C=0．故ln(y＋[*])＝t，即 y＋[*]＝e2 ① 又由 1n(y－[*])＝－ln(y＋[*])＝－t， 可知 y－[*]＝e－t ② 由式①和式②，解得y＝et＋e－t/2，故y(x)＝y＝ex＋e－x/2
解析
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考研数学二

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