设函数y=y(x)在[0,+∞)上有连续导数,且y(0)=1,y’(x)≥0,y=y(x)与y=0,x=0,x=t(t>0)所围图形为D,D绕x轴旋转一周所得旋转体的侧面积为S(t),体积为V(t),且S(t)=2V(t) 求y=y(x);

admin2022-06-09  55

问题 设函数y=y(x)在[0,+∞)上有连续导数,且y(0)=1,y’(x)≥0,y=y(x)与y=0,x=0,x=t(t>0)所围图形为D,D绕x轴旋转一周所得旋转体的侧面积为S(t),体积为V(t),且S(t)=2V(t)
求y=y(x);

选项

答案由已知,S(t)=2V(t),有 2π∫0ty[*]dx=2·π∫0ty2dx 两边同时关于t求导,得[*]=y,即 y’(t)=[*] 为可分离变量方程 [*]=dt 积分,得 ln(y+[*])=t+C 由y(0)=1,得C=0.故ln(y+[*])=t,即 y+[*]=e2 ① 又由 1n(y-[*])=-ln(y+[*])=-t, 可知 y-[*]=e-t ② 由式①和式②,解得y=et+e-t/2,故y(x)=y=ex+e-x/2

解析
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